不等式 $\log_2(x-2) \le 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\log_2(x-2) \le 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、真数条件から $x-2 > 0$ かつ $x-4 > 0$ である必要があります。よって、$x>4$ です。

次に、$\log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を底が2の対数に変換します。

$\log_{\frac{1}{2}}(x-4) = \frac{\log_2(x-4)}{\log_2(\frac{1}{2})} = \frac{\log_2(x-4)}{-1} = -\log_2(x-4)$

与えられた不等式は、

$\log_2(x-2) \le 3 - \log_2(x-4)$

$\log_2(x-2) + \log_2(x-4) \le 3$

$\log_2((x-2)(x-4)) \le 3$

両辺の指数をとると、

$(x-2)(x-4) \le 2^3$

$x^2 - 6x + 8 \le 8$

$x^2 - 6x \le 0$

$x(x-6) \le 0$

したがって、$0 \le x \le 6$

真数条件 $x>4$ より、$4 < x \le 6$

3. 最終的な答え

$4 < x \le 6$