(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x^2$ の係数と $x^3$ の係数を求めよ。 (2) $(x^3-2y)^8$ の展開式における $x^9y^5$ の係数を求めよ。 (3) $(x+2y+3z)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の係数と $x^3y^2z$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x^2$ の係数と $x^3$ の係数を求めよ。

(2) $(x^3-2y)^8$ の展開式における $x^9y^5$ の係数を求めよ。

(3) $(x+2y+3z)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の係数と $x^3y^2z$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて展開する。$(x-2)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}_{11}C_k x^{11-k} (-2)^k$

$x^2$の係数は $11-k=2$、つまり $k=9$ のときである。 よって、${}_{11}C_9 (-2)^9 = {}_{11}C_2 (-2)^9 = \frac{11\times 10}{2} \times (-512) = 55 \times (-512) = -28160$

$x^3$の係数は $11-k=3$、つまり $k=8$ のときである。 よって、${}_{11}C_8 (-2)^8 = {}_{11}C_3 (-2)^8 = \frac{11\times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} \times 256 = 165 \times 256 = 42240$

(2) 二項定理を用いる。$(x^3-2y)^8 = \sum_{k=0}^{8} {}_{8}C_k (x^3)^{8-k} (-2y)^k = \sum_{k=0}^{8} {}_{8}C_k x^{24-3k} (-2)^k y^k$

$x^9y^5$の係数を求める。 $24-3k=9$ かつ $k=5$ より $k=5$。

${}_{8}C_5 (-2)^5 = {}_{8}C_3 (-32) = \frac{8\times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} (-32) = 56 \times (-32) = -1792$

(3) 多項定理を用いる。$(x+2y+3z)^6 = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} x^p (2y)^q (3z)^r = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} 2^q 3^r x^p y^q z^r$

$x^4y^2$の係数は、$p=4, q=2, r=0$ のとき。

$\frac{6!}{4!2!0!} 2^2 3^0 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 \times 1 = 15 \times 4 = 60$

$x^3y^2z$の係数は、$p=3, q=2, r=1$ のとき。

$\frac{6!}{3!2!1!} 2^2 3^1 = \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 1} \times 4 \times 3 = 60 \times 12 = 720$

3. 最終的な答え

(1) $x^2$の係数：-28160

$x^3$の係数：42240

(2) $x^9y^5$の係数：-1792

(3) $x^4y^2$の係数：60

$x^3y^2z$の係数：720