(1) $x+y=5$, $xy=-10$のとき、$x^2+y^2$, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, $x^3+y^3$の値を求める。 (2) $x=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$, $y=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$のとき、$x^2+xy+y^2$, $x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x+y=5$, $xy=-10$のとき、$x^2+y^2$, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, $x^3+y^3$の値を求める。

(2) $x=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$, $y=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$のとき、$x^2+xy+y^2$, $x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2+y^2$を求める。

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$より、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$。

$x+y=5$、$xy=-10$を代入すると、

$x^2+y^2 = 5^2 - 2(-10) = 25+20 = 45$。

次に、$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$を求める。

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy}$

$x^2+y^2 = 45$, $xy=-10$を代入すると、

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{45}{-10} = -\frac{9}{2}$。

次に、$x^3+y^3$を求める。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x+y=5$, $x^2+y^2=45$, $xy=-10$を代入すると、

$x^3+y^3 = (5)(45-(-10)) = 5(45+10) = 5(55) = 275$。

(2)

まず、$x$と$y$を簡単にする。

$x=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

$y=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

$x+y = (\sqrt{6}-\sqrt{2})+(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$

$xy = (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 6-2 = 4$

$x^2+xy+y^2 = (x+y)^2 - xy = (2\sqrt{6})^2 - 4 = 4(6) - 4 = 24-4 = 20$

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = x^2(x+y) + y^2(x+y) = (x^2+y^2)(x+y) = ((x+y)^2 - 2xy)(x+y) = ((2\sqrt{6})^2 - 2(4))(2\sqrt{6}) = (24-8)(2\sqrt{6}) = 16(2\sqrt{6}) = 32\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1)

$x^2+y^2 = 45$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = -\frac{9}{2}$

$x^3+y^3 = 275$

(2)

$x^2+xy+y^2 = 20$

$x^3+x^2y+xy^2+y^3 = 32\sqrt{6}$