与えられた問題は以下の4つの小問から構成されています。 (1) $\sqrt{168n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。 (2) $\sqrt{\frac{360}{n}}$ が自然数となるような全ての自然数 $n$ を求める。 (3) $\sqrt{40n}$ が100より大きくなるような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める。 (4) $n^2 - 14n + 40$ が素数となるような全ての自然数 $n$ を求める。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つの小問から構成されています。

(1) $\sqrt{168n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

(2) $\sqrt{\frac{360}{n}}$ が自然数となるような全ての自然数 $n$ を求める。

(3) $\sqrt{40n}$ が100より大きくなるような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める。

(4) $n^2 - 14n + 40$ が素数となるような全ての自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{168n}$ が自然数となる条件を考える。

$168$ を素因数分解すると $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$ となる。

$\sqrt{168n} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot n}$ が自然数になるためには、根号の中身が平方数でなければならない。

したがって、$n$ は $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ の倍数でなければならない。

最小の自然数 $n$ は $n = 42$ となる。

(2) $\sqrt{\frac{360}{n}}$ が自然数となる条件を考える。

$360$ を素因数分解すると $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ となる。

$\sqrt{\frac{360}{n}} = \sqrt{\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}{n}}$ が自然数になるためには、$\frac{360}{n}$ が平方数でなければならない。

したがって、$n$ は $2 \cdot 5 = 10$ の倍数である必要がある。

$\frac{360}{n}$ が平方数となるような $n$ の候補は $n = 10, 40, 90, 360$ である。

それぞれの $n$ について $\frac{360}{n}$ を計算すると、$\frac{360}{10} = 36 = 6^2$, $\frac{360}{40} = 9 = 3^2$, $\frac{360}{90} = 4 = 2^2$, $\frac{360}{360} = 1 = 1^2$ となり、いずれも平方数である。

したがって、$n = 10, 40, 90, 360$ である。

(3) $\sqrt{40n}$ が100より大きくなる条件を考える。

$\sqrt{40n} > 100$ の両辺を2乗すると $40n > 10000$ となる。

したがって、$n > \frac{10000}{40} = 250$ となる。

最小の自然数 $n$ は $n = 251$ となる。

(4) $n^2 - 14n + 40$ が素数となる条件を考える。

$n^2 - 14n + 40 = (n - 4)(n - 10)$ と因数分解できる。

$(n - 4)(n - 10)$ が素数になるためには、$n - 4 = 1$ または $n - 10 = 1$ のいずれかが成り立つ必要がある。

もし $n - 4 = 1$ ならば $n = 5$ となり、$(n - 4)(n - 10) = (1)(-5) = -5$ となり、素数ではない。

もし $n - 10 = -1$ ならば $n = 9$ となり、$(n - 4)(n - 10) = (5)(-1) = -5$ となり、素数ではない。

もし $n-4 = -1$ ならば $n=3$ となり、$(n-4)(n-10) = (-1)(-7) = 7$ となり、素数である。

もし $n-10 = 1$ ならば $n=11$ となり、$(n-4)(n-10) = (7)(1) = 7$ となり、素数である。

したがって、$n = 3, 11$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n = 42$

(2) $n = 10, 40, 90, 360$

(3) $n = 251$

(4) $n = 3, 11$