$2^{100}$ を10進数で表したとき、何桁の整数になるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ を利用できます。

1. 問題の内容

$2^{100}$ を10進数で表したとき、何桁の整数になるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ を利用できます。

2. 解き方の手順

$2^{100}$ の桁数を求めるには、$\log_{10}(2^{100})$ の値を計算し、その整数部分に1を足します。

まず、$\log_{10}(2^{100})$ を計算します。対数の性質より、

$$\log_{10}(2^{100}) = 100 \cdot \log_{10}2$$

$\log_{10}2 = 0.3010$ なので、

$$\log_{10}(2^{100}) = 100 \cdot 0.3010 = 30.10$$

次に、$\log_{10}(2^{100})$ の整数部分を求めます。これは30です。

最後に、整数部分に1を足して、桁数を求めます。

$$30 + 1 = 31$$

したがって、$2^{100}$ は31桁の整数となります。

3. 最終的な答え

31