円周上に点D, Eがあり、ADはBCと垂直である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求める。

1. 問題の内容

円周上に点D, Eがあり、ADはBCと垂直である。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$の内角の和から$\angle BAC$を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 42^\circ - 58^\circ = 80^\circ$

次に、$\angle CAD$を求める。ADとBCが垂直であることから$\triangle ADC$は直角三角形であり、$\angle ADC = 90^\circ$である。よって$\angle DAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$

次に$\angle BAD$を求める。$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 80^\circ - 32^\circ = 48^\circ$

最後に、円周角の定理より$\angle AED = \angle ABD$である。ADとBCは垂直なので、$\triangle ABD$は$\angle ADB = 90^\circ$となる直角三角形。$\angle ABD = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$

$\angle AED = \angle ABD = 48^\circ$

3. 最終的な答え

$48^\circ$