スカラー場 $\phi$ が与えられたとき、ラプラシアン $\nabla^2 \phi$ を求める問題です。具体的には、以下の2つのスカラー場について $\nabla^2 \phi$ を計算します。 (a) $\phi = x^2yz + xy^2z + xyz^2$ (b) $\phi = x\sin(y+2z)$

応用数学ベクトル解析ラプラシアン偏微分スカラー場
2025/7/27

1. 問題の内容

スカラー場 ϕ\phi が与えられたとき、ラプラシアン 2ϕ\nabla^2 \phi を求める問題です。具体的には、以下の2つのスカラー場について 2ϕ\nabla^2 \phi を計算します。
(a) ϕ=x2yz+xy2z+xyz2\phi = x^2yz + xy^2z + xyz^2
(b) ϕ=xsin(y+2z)\phi = x\sin(y+2z)

2. 解き方の手順

ラプラシアンは、直交座標系において以下のように定義されます。
2ϕ=2ϕx2+2ϕy2+2ϕz2\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}
(a) ϕ=x2yz+xy2z+xyz2\phi = x^2yz + xy^2z + xyz^2 の場合:
まず、各変数に関する2階偏導関数を求めます。
ϕx=2xyz+y2z+yz2\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xyz + y^2z + yz^2
2ϕx2=2yz\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 2yz
ϕy=x2z+2xyz+xz2\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2z + 2xyz + xz^2
2ϕy2=2xz\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 2xz
ϕz=x2y+xy2+2xyz\frac{\partial \phi}{\partial z} = x^2y + xy^2 + 2xyz
2ϕz2=2xy\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 2xy
したがって、
2ϕ=2yz+2xz+2xy\nabla^2 \phi = 2yz + 2xz + 2xy
(b) ϕ=xsin(y+2z)\phi = x\sin(y+2z) の場合:
同様に、各変数に関する2階偏導関数を求めます。
ϕx=sin(y+2z)\frac{\partial \phi}{\partial x} = \sin(y+2z)
2ϕx2=0\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 0
ϕy=xcos(y+2z)\frac{\partial \phi}{\partial y} = x\cos(y+2z)
2ϕy2=xsin(y+2z)\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = -x\sin(y+2z)
ϕz=2xcos(y+2z)\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2x\cos(y+2z)
2ϕz2=4xsin(y+2z)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = -4x\sin(y+2z)
したがって、
2ϕ=0xsin(y+2z)4xsin(y+2z)=5xsin(y+2z)\nabla^2 \phi = 0 - x\sin(y+2z) - 4x\sin(y+2z) = -5x\sin(y+2z)

3. 最終的な答え

(a) 2ϕ=2yz+2xz+2xy\nabla^2 \phi = 2yz + 2xz + 2xy
(b) 2ϕ=5xsin(y+2z)\nabla^2 \phi = -5x\sin(y+2z)

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