与えられた2次関数 $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) グラフが点 $(2, -4)$ を通る時の $k$ の値を求めます。 (2) $k=2$ のとき、グラフを $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフの式を、$y=ax^2+bx+c$ の形で表します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) グラフが点 $(2, -4)$ を通る時の $k$ の値を求めます。

(2) $k=2$ のとき、グラフを $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフの式を、$y=ax^2+bx+c$ の形で表します。

2. 解き方の手順

(1) グラフが点 $(2, -4)$ を通るので、$x=2$、$y=-4$ を $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ に代入します。

$-4 = 2^2 + 2k + 3(k-1)$

$-4 = 4 + 2k + 3k - 3$

$-4 = 5k + 1$

$5k = -5$

$k = -1$

(2) $k=2$ のとき、与えられた2次関数は $y = x^2 + 2x + 3(2-1) = x^2 + 2x + 3$ となります。

この式を平方完成すると、

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 3$

$y = (x+1)^2 + 2$

したがって、頂点は $(-1, 2)$ です。

$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動すると、頂点は $(-1+3, 2-5) = (2, -3)$ に移動します。

平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないので、移動後のグラフの式は $y = (x-2)^2 - 3$ となります。

これを展開すると、

$y = (x^2 - 4x + 4) - 3$

$y = x^2 - 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $k = -1$

(2) $y = x^2 - 4x + 1$