$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ をすべて求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数となるためには、まず $\frac{756}{n}$ が平方数（ある自然数の2乗）でなければなりません。

そこで、756を素因数分解します。

$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$

$\frac{756}{n}$ が平方数であるためには、$n$ は $756$ を割り切る必要があります。つまり、$n$ は $756$ の約数です。また、$\frac{756}{n}$ の素因数分解において、各素数の指数が偶数でなければなりません。

$756 = 2^2 \times 3^2 \times 3 \times 7$

$\frac{756}{n}$ が平方数となるための $n$ の候補は、

$n = 3 \times 7 = 21$

$n = 2^2 \times 3 \times 7 = 84$

$n = 3^3 \times 7 = 189$

$n = 2^2 \times 3^3 \times 7 = 756$

があります。

それぞれの場合について$\sqrt{\frac{756}{n}}$ を計算します。

* $n = 21$ のとき $\sqrt{\frac{756}{21}} = \sqrt{36} = 6$

* $n = 84$ のとき $\sqrt{\frac{756}{84}} = \sqrt{9} = 3$

* $n = 189$ のとき $\sqrt{\frac{756}{189}} = \sqrt{4} = 2$

* $n = 756$ のとき $\sqrt{\frac{756}{756}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるような $n$ は $21, 84, 189, 756$ です。

3. 最終的な答え

$n = 21, 84, 189, 756$