与えられた4つの計算問題を解く。 (1) $\sqrt{125} \times \sqrt{5}$ (2) $(\sqrt{49})^2$ (3) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ (4) $\sqrt[4]{16} \times \sqrt[3]{32^{-1}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの計算問題を解く。

(1) $\sqrt{125} \times \sqrt{5}$

(2) $(\sqrt{49})^2$

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

(4) $\sqrt[4]{16} \times \sqrt[3]{32^{-1}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{125} \times \sqrt{5}$

$\sqrt{125}$ を簡単にすると、$\sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$ となる。

したがって、$\sqrt{125} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \times 5 = 25$

(2) $(\sqrt{49})^2$

$\sqrt{49}$ は7に等しい。

したがって、$(\sqrt{49})^2 = 7^2 = 49$

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

$\sqrt{64}$ は8に等しい。

したがって、$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = 2$

(4) $\sqrt[4]{16} \times \sqrt[3]{32^{-1}}$

$\sqrt[4]{16} = 2$ である。

$\sqrt[3]{32^{-1}}$ は $\sqrt[3]{\frac{1}{32}}$ に等しい。

$32 = 2^5$ であるから、$\sqrt[3]{\frac{1}{32}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{2^2}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}$となる。

$\sqrt[3]{32^{-1}} = (32^{-1})^{\frac{1}{3}} = 32^{-\frac{1}{3}} = (2^5)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{5}{3}}$

$\sqrt[4]{16} \times \sqrt[3]{32^{-1}} = 2 \times 2^{-\frac{5}{3}} = 2^{1-\frac{5}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \times \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 49

(3) 2

(4) $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$