A, B の2人が将棋の対局をします。1回の対局で、AがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ であり、引き分けはないものとします。先に3勝した者を優勝とするとき、以下の確率を求めます。 (1) Aが3勝0敗で優勝する確率 (2) Aが3勝2敗で優勝する確率

はい、承知いたしました。画像にある2つの問題のうち、AとBが将棋をする問題について解答します。

1. 問題の内容

A, B の2人が将棋の対局をします。1回の対局で、AがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ であり、引き分けはないものとします。先に3勝した者を優勝とするとき、以下の確率を求めます。

(1) Aが3勝0敗で優勝する確率

(2) Aが3勝2敗で優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) Aが3勝0敗で優勝する場合

これはAが3連勝する場合なので、確率は以下のようになります。

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

(2) Aが3勝2敗で優勝する場合

Aが3勝2敗で優勝するということは、5試合のうち、Aが3勝し、Bが2勝するという状況です。ただし、5試合目に必ずAが勝つ必要があります。なぜなら、Aが5試合目に負けてしまうと、Aは3勝で優勝できないからです。

したがって、最初の4試合でAが2勝し、Bが2勝し、5試合目でAが勝つという状況を考えます。最初の4試合でAが2勝し、Bが2勝する確率は、二項分布を用いて計算できます。

$_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$

これは、4試合中2回Aが勝ち、2回Bが勝つ確率を表します。

そして、5試合目にAが勝つ確率は$\frac{2}{3}$です。したがって、Aが3勝2敗で優勝する確率は、

$_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81}$

3. 最終的な答え

(1) Aが3勝0敗で優勝する確率は、$\frac{8}{27}$ です。

(2) Aが3勝2敗で優勝する確率は、$\frac{16}{81}$ です。