問題は、$a = \frac{\sqrt{13}-3}{2}$ のとき、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ を計算し、また $\frac{1}{a}$ の分母を有理化するというものです。

1. 問題の内容

問題は、$a = \frac{\sqrt{13}-3}{2}$ のとき、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ を計算し、また $\frac{1}{a}$ の分母を有理化するというものです。

2. 解き方の手順

まず $\frac{1}{a}$ を計算します。

$\frac{1}{a} = \frac{2}{\sqrt{13}-3}$

次に、$\frac{1}{a}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{13}+3$ を掛けます。

$\frac{1}{a} = \frac{2(\sqrt{13}+3)}{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)} = \frac{2(\sqrt{13}+3)}{13-9} = \frac{2(\sqrt{13}+3)}{4} = \frac{\sqrt{13}+3}{2}$

よって、$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{13}+3}{2}$ となります。

次に、$a^2$ を計算します。

$a^2 = (\frac{\sqrt{13}-3}{2})^2 = \frac{13 - 6\sqrt{13} + 9}{4} = \frac{22 - 6\sqrt{13}}{4} = \frac{11 - 3\sqrt{13}}{2}$

次に、$\frac{1}{a^2}$ を計算します。

$\frac{1}{a^2} = (\frac{1}{a})^2 = (\frac{\sqrt{13}+3}{2})^2 = \frac{13 + 6\sqrt{13} + 9}{4} = \frac{22 + 6\sqrt{13}}{4} = \frac{11 + 3\sqrt{13}}{2}$

最後に、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ を計算します。

$a^2 - \frac{1}{a^2} = \frac{11 - 3\sqrt{13}}{2} - \frac{11 + 3\sqrt{13}}{2} = \frac{11 - 3\sqrt{13} - 11 - 3\sqrt{13}}{2} = \frac{-6\sqrt{13}}{2} = -3\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a}$ の分母を有理化すると $\frac{\sqrt{13}+3}{2}$ であり、$a^2 - \frac{1}{a^2} = -3\sqrt{13}$ である。