質量 $m = 4.0\,\text{kg}$ の物体が水平な床の上に置かれている。物体は水平より $30^\circ$ 上向きに $F = 20\,\text{N}$ の力で引っ張られている。静止摩擦係数が $\mu = 0.40$ のとき、物体が動くかどうかを判定し、動く場合の加速度を求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ であり、$\sqrt{3} = 1.73$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m = 4.0\,\text{kg}$ の物体が水平な床の上に置かれている。物体は水平より $30^\circ$ 上向きに $F = 20\,\text{N}$ の力で引っ張られている。静止摩擦係数が $\mu = 0.40$ のとき、物体が動くかどうかを判定し、動く場合の加速度を求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ であり、$\sqrt{3} = 1.73$ とする。

2. 解き方の手順

まず、物体に働く力を図示し、それぞれの力の成分を考える。引っ張る力 $F$ は水平成分 $F_x$ と垂直成分 $F_y$ に分解できる。

$F_x = F \cos 30^\circ$

$F_y = F \sin 30^\circ$

次に、垂直抗力 $N$ を求める。垂直抗力は、重力 $mg$ と引っ張る力の垂直成分 $F_y$ によって決まる。

$N = mg - F_y$

静止摩擦力 $f$ の最大値 $f_{\text{max}}$ は、垂直抗力と静止摩擦係数によって決まる。

$f_{\text{max}} = \mu N$

物体が動き出すためには、引っ張る力の水平成分 $F_x$ が静止摩擦力の最大値 $f_{\text{max}}$ より大きくなければならない。すなわち、$F_x > f_{\text{max}}$ であれば物体は動き出す。

物体が動き出す場合、運動方程式を立てて加速度 $a$ を求める。

$ma = F_x - f_{\text{max}}$

$a = \frac{F_x - f_{\text{max}}}{m}$

具体的な数値を代入して計算する。

$F_x = 20 \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} = 10 \times 1.73 = 17.3\,\text{N}$

$F_y = 20 \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\,\text{N}$

$N = 4.0 \times 9.8 - 10 = 39.2 - 10 = 29.2\,\text{N}$

$f_{\text{max}} = 0.40 \times 29.2 = 11.68\,\text{N}$

$F_x = 17.3\,\text{N} > f_{\text{max}} = 11.68\,\text{N}$ であるから、物体は動く。

$a = \frac{17.3 - 11.68}{4.0} = \frac{5.62}{4.0} = 1.405\,\text{m/s}^2$

3. 最終的な答え

物体は動き、加速度は

$a = 1.405\,\text{m/s}^2$