与えられた点を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めます。 (1) 点 $(6, -4)$ を通り、直線 $y = 3x + 5$ に垂直な直線の方程式 (2) 点 $(1, -2)$ を通り、直線 $4x + y + 2 = 0$ に垂直な直線の方程式

1. 問題の内容

与えられた点を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めます。

(1) 点 $(6, -4)$ を通り、直線 $y = 3x + 5$ に垂直な直線の方程式

(2) 点 $(1, -2)$ を通り、直線 $4x + y + 2 = 0$ に垂直な直線の方程式

2. 解き方の手順

(1)

与えられた直線 $y = 3x + 5$ の傾きは $3$ です。これに垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$3m = -1$ より、$m = -\frac{1}{3}$ となります。

点 $(6, -4)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、

$y - (-4) = -\frac{1}{3}(x - 6)$

$y + 4 = -\frac{1}{3}x + 2$

$y = -\frac{1}{3}x - 2$

両辺を3倍して

$3y = -x - 6$

移項して

$x + 3y + 6 = 0$

(2)

与えられた直線 $4x + y + 2 = 0$ を $y = -4x - 2$ と変形すると、傾きは $-4$ です。これに垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$-4m = -1$ より、$m = \frac{1}{4}$ となります。

点 $(1, -2)$ を通り、傾きが $\frac{1}{4}$ の直線の方程式は、

$y - (-2) = \frac{1}{4}(x - 1)$

$y + 2 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}$

両辺を4倍して

$4y = x - 9$

移項して

$x - 4y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x + 3y + 6 = 0$

(2) $x - 4y - 9 = 0$