三角形ABCにおいて、点Gは三角形ABCの重心である。点Gから辺BCに下ろした垂線をGK、点Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。 (1) GK:AHを求める。 (2) 三角形GBCと三角形ABCの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは三角形ABCの重心である。点Gから辺BCに下ろした垂線をGK、点Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。

(1) GK:AHを求める。

(2) 三角形GBCと三角形ABCの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心の性質より、中線を2:1に内分する。AからBCに下ろした中線をAMとすると、AG:GM = 2:1となる。

GKとAHはどちらもBCに対する垂線なので、GK//AHである。

したがって、三角形GKMと三角形AHMは相似である。

相似比はGM:AM = 1:(2+1) = 1:3である。

GK:AH = GM:AM = 1:3

(2) 三角形GBCと三角形ABCは底辺BCを共有しているので、面積比は高さの比に等しい。

三角形GBCの高さはGK、三角形ABCの高さはAHである。

よって、面積比はGK:AH = 1:3となる。

3. 最終的な答え

(1) GK:AH = 1:3

(2) 三角形GBC : 三角形ABC = 1:3