与えられた図において、$AB=2$, $DC=1$, $\angle B=\theta$, $\angle ADC=45^\circ$, $\angle C=90^\circ$である。 (1) 辺ACの長さを求める。 (2) 線分BDの長さを求める。 (3) $\cos \theta$の値を求める。 (4) $\theta$の値を求める。

幾何学幾何三角比余弦定理直角三角形
2025/7/27

1. 問題の内容

与えられた図において、AB=2AB=2, DC=1DC=1, B=θ\angle B=\theta, ADC=45\angle ADC=45^\circ, C=90\angle C=90^\circである。
(1) 辺ACの長さを求める。
(2) 線分BDの長さを求める。
(3) cosθ\cos \thetaの値を求める。
(4) θ\thetaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 辺ACの長さを求める。
ADC\triangle ADCにおいて、C=90\angle C=90^\circ, ADC=45\angle ADC=45^\circなので、DAC=1809045=45\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
したがって、ADC\triangle ADCは直角二等辺三角形であるから、AC=DC=1AC=DC=1
(2) 線分BDの長さを求める。
ABC\triangle ABCは直角三角形であるから、ピタゴラスの定理より、BC2+AC2=AB2BC^2 + AC^2 = AB^2
AC=1AC=1, AB=2AB=2であるから、BC2+12=22BC^2 + 1^2 = 2^2より、BC2=41=3BC^2 = 4-1=3
よって、BC=3BC = \sqrt{3}
BD=BCDCBD = BC - DCであるから、BD=31BD = \sqrt{3} - 1
(3) cosθ\cos \thetaの値を求める。
ABD\triangle ABDにおいて、余弦定理より、AD2=AB2+BD22ABBDcosθAD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos \theta
cosθ=AB2+BD2AD22ABBD\cos \theta = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2AB \cdot BD}
ADC\triangle ADCは直角二等辺三角形であるから、AD=AC2+DC2=12+12=2AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}
よって、cosθ=22+(31)2(2)222(31)=4+323+124(31)=6234(31)=332(31)=3(31)2(31)=32\cos \theta = \frac{2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{4 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 2}{4(\sqrt{3}-1)} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
(4) θ\thetaの値を求める。
cosθ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}であるから、θ=30\theta = 30^\circ

3. 最終的な答え

(1) AC=1AC=1
(2) BD=31BD=\sqrt{3}-1
(3) cosθ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
(4) θ=30\theta=30^\circ

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