三角形ABCがあり、辺AB上に点E, 辺BC上に点Dがある。 線分ADと線分AEで三角形ABCが分割されている。 各線分の長さの比が与えられているとき、三角形ABCと三角形EBDの面積比を求めなさい。 具体的には、AE:EC = 3:4, BD:DA = 5:2, BE:EA = 4:3, CD:DB = 3:5となっている。
2025/7/27
1. 問題の内容
三角形ABCがあり、辺AB上に点E, 辺BC上に点Dがある。
線分ADと線分AEで三角形ABCが分割されている。
各線分の長さの比が与えられているとき、三角形ABCと三角形EBDの面積比を求めなさい。
具体的には、AE:EC = 3:4, BD:DA = 5:2, BE:EA = 4:3, CD:DB = 3:5となっている。
2. 解き方の手順
まず、三角形の面積比を求めるためには、底辺と高さの比を使うことを考えます。
三角形AEDと三角形CEDの高さはAからBCへ下ろした垂線の長さなので、AD:DC = 2:3より、面積比は2:3となります。
同様に、三角形ABDと三角形ADCの高さはBからACへ下ろした垂線の長さなので、AE:EC = 3:4より、面積比は3:4となります。
次に、面積比を文字でおいて連立方程式を解くことを考えます。
三角形AEDの面積を 、三角形CEDの面積を 、三角形ABEの面積を 、三角形BDEの面積を と置きます。
三角形ABDの面積は 、三角形ADCの面積は です。
三角形ABD:三角形ADC = 5:2より、
...(1)
三角形ABEの面積は 、三角形EBCの面積は です。
三角形ABE:三角形EBC = 4:5より、
...(2)
三角形ADEの面積は 、三角形DECの面積は です。
三角形ADE:三角形DEC = 2:3より、
...(3)
三角形ABEの面積は 、三角形EBDの面積は です。
三角形AED:三角形BED = 3:4より、
...(4)
(3)式より、
(4)式より、
(1)式に代入すると、
面積の比が与えられているので、
より、
より、 なので
より、 なので
よって
三角形ABCの面積は で、三角形EBDの面積は なので、 を求めます。
より
より
より なので、
なので、
3. 最終的な答え
143:32