三角形ABCがあり、辺AB上に点E, 辺BC上に点Dがある。 線分ADと線分AEで三角形ABCが分割されている。 各線分の長さの比が与えられているとき、三角形ABCと三角形EBDの面積比を求めなさい。 具体的には、AE:EC = 3:4, BD:DA = 5:2, BE:EA = 4:3, CD:DB = 3:5となっている。

幾何学面積比三角形相似
2025/7/27

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺AB上に点E, 辺BC上に点Dがある。
線分ADと線分AEで三角形ABCが分割されている。
各線分の長さの比が与えられているとき、三角形ABCと三角形EBDの面積比を求めなさい。
具体的には、AE:EC = 3:4, BD:DA = 5:2, BE:EA = 4:3, CD:DB = 3:5となっている。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積比を求めるためには、底辺と高さの比を使うことを考えます。
三角形AEDと三角形CEDの高さはAからBCへ下ろした垂線の長さなので、AD:DC = 2:3より、面積比は2:3となります。
同様に、三角形ABDと三角形ADCの高さはBからACへ下ろした垂線の長さなので、AE:EC = 3:4より、面積比は3:4となります。
次に、面積比を文字でおいて連立方程式を解くことを考えます。
三角形AEDの面積を S1S_1、三角形CEDの面積を S2S_2、三角形ABEの面積を S3S_3、三角形BDEの面積を S4S_4と置きます。
三角形ABDの面積は S1+S4S_1 + S_4、三角形ADCの面積は S2S_2です。
三角形ABD:三角形ADC = 5:2より、
S1+S4:S2=5:2S_1 + S_4 : S_2 = 5:2
2(S1+S4)=5S22(S_1 + S_4) = 5S_2 ...(1)
三角形ABEの面積は S3S_3、三角形EBCの面積は S4+S2S_4 + S_2です。
三角形ABE:三角形EBC = 4:5より、
S3:S4+S2=4:5S_3 : S_4 + S_2 = 4:5
5S3=4(S4+S2)5S_3 = 4(S_4 + S_2) ...(2)
三角形ADEの面積は S1S_1、三角形DECの面積は S2S_2です。
三角形ADE:三角形DEC = 2:3より、
S1:S2=2:3S_1 : S_2 = 2:3
3S1=2S23S_1 = 2S_2 ...(3)
三角形ABEの面積は S3S_3、三角形EBDの面積は S4S_4です。
三角形AED:三角形BED = 3:4より、
S1:S4=3:4S_1:S_4 = 3:4
4S1=3S44S_1 = 3S_4 ...(4)
(3)式より、S2=32S1S_2 = \frac{3}{2}S_1
(4)式より、S4=43S1S_4 = \frac{4}{3}S_1
(1)式に代入すると、
2(S1+43S1)=5(32S1)2(S_1 + \frac{4}{3}S_1) = 5(\frac{3}{2}S_1)
2(73S1)=152S12(\frac{7}{3}S_1) = \frac{15}{2}S_1
143S1=152S1\frac{14}{3}S_1 = \frac{15}{2}S_1
面積の比が与えられているので、
AD:DC=2:3AD : DC = 2:3 より、S1:S2=2:3S_1 : S_2 = 2:3
AE:EC=3:4AE : EC = 3:4 より、ABE:EBC=3:4\triangle ABE : \triangle EBC = 3:4 なので S3:(S4+S2)=3:4S_3:(S_4+S_2) = 3:4
BE:EA=4:3BE : EA = 4:3 より、EBD:AED=4:3\triangle EBD : \triangle AED = 4:3 なので S4:S1=4:3S_4:S_1 = 4:3
よって S4=43S1S_4 = \frac{4}{3}S_1
三角形ABCの面積は S1+S2+S3+S4S_1+S_2+S_3+S_4 で、三角形EBDの面積は S4S_4 なので、ABC:EBD=(S1+S2+S3+S4):S4\triangle ABC : \triangle EBD = (S_1+S_2+S_3+S_4):S_4 を求めます。
S1:S2=2:3S_1:S_2 = 2:3 より S2=32S1S_2 = \frac{3}{2} S_1
S4:S1=4:3S_4:S_1 = 4:3 より S4=43S1S_4 = \frac{4}{3} S_1
S3:(S4+S2)=3:4S_3:(S_4+S_2) = 3:4 より S3:(43S1+32S1)=3:4S_3 : (\frac{4}{3}S_1+\frac{3}{2}S_1) = 3:4 なので、S3:(8+96S1)=3:4S_3:(\frac{8+9}{6}S_1)=3:4
S3:(176S1)=3:4S_3:(\frac{17}{6}S_1)=3:4 なので、S3=34176S1=178S1S_3 = \frac{3}{4}\frac{17}{6}S_1 = \frac{17}{8}S_1
ABC=S1+32S1+178S1+43S1=(24+36+51+3224)S1=14324S1\triangle ABC = S_1 + \frac{3}{2}S_1 + \frac{17}{8}S_1 + \frac{4}{3}S_1 = (\frac{24+36+51+32}{24}) S_1 = \frac{143}{24} S_1
EBD=43S1\triangle EBD = \frac{4}{3} S_1
ABC:EBD=14324:43=143:32\triangle ABC : \triangle EBD = \frac{143}{24} : \frac{4}{3} = 143:32

3. 最終的な答え

143:32

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