図において、四角形ABCDは平行四辺形であり、AE:ED=6:4である。三角形AEFの面積を求める問題。ただし、平行四辺形の面積は与えられていない。

1. 問題の内容

図において、四角形ABCDは平行四辺形であり、AE:ED=6:4である。三角形AEFの面積を求める問題。ただし、平行四辺形の面積は与えられていない。

2. 解き方の手順

平行四辺形の性質より、AD // BC。

よって、△AEFと△CBFは相似である。

AE:ECを考える。AE:ED = 6:4なので、AE:AD = 6:(6+4) = 6:10 = 3:5。

平行四辺形なのでAD=BC。よってAE:BC=3:5。

相似比は3:5なので、面積比は $3^2:5^2 = 9:25$

△AEFの面積をSとおくと、△CBFの面積は $\frac{25}{9}S$ と表せる。

また、△AEFと△CDFも相似である。相似比はAE:CD。平行四辺形なのでCD=AB。AE:CD=AE:AB。AE:BC=3:5よりEC:BC=2:5。AE:EC=3:2。AE:DC=AE:AB=3:(3+2)=3:

5. 面積比は $3^2:5^2=9:25$。よって、△CDFの面積は $\frac{25}{9}S$

次に、三角形ABCについて考える。平行四辺形ABCDの面積をTとすると、△ABCの面積は $\frac{1}{2}T$である。

△ABC = △ABF + △CBF = △ABF + $\frac{25}{9}S$

△ADC = △ADF + △CDF = △ADF + $\frac{25}{9}S$

△ADF = △ABC-S-△CBF = $\frac{1}{2}T -S - \frac{25}{9}S$

△ADC = △AEF + △CDF + 四角形CEFC = $S+ \frac{25}{9}S$ + 四角形CEFC

四角形CEFC = $\frac{1}{2}T -S - \frac{25}{9}S$

ここで、平行四辺形ABCDの面積を1とする。すると、

AD // BCより、△ADCと△ABCは面積が等しく、$\frac{1}{2}$となる。

△AEFの面積をxとする。

AE:BC=3:5より、△AEF:△CBF=9:25なので、△CBF=$\frac{25}{9}x$

△ADC = △AEF + △EDC, △ABC = △ABF + △CBF.

$\frac{AE}{AD} = \frac{AE}{BC} = \frac{3}{10/5}$なので,

△ABE:△EBC = 3:2, △ADE:△EDC = 6:4

△ADC=△ABC=1/2 より、$\frac{1}{2}=S+\frac{25}{9}S = S$

$\frac{1}{2} = x + 四角形CEFD$.

$\frac{AE}{AD} = \frac{3}{5}$, $\frac{S△AEF}{S△ADF} = \frac{AE}{AD}$

S△ADF = $\frac{9}{25} x$,

△AEF∽△CBFより相似比3:5。

△AEF:△ABF=AE:BE

△AEFの面積をSとする。△CBFの面積は(5/3)^2 S=(25/9)S。

△ABCの面積は平行四辺形の半分なので1/2。

△ABC=△ABF+△CBFなので、1/2=△ABF+25/9 S

△ABF=1/2-25/9 S

△ACD=△ABC=1/2

△ACD=△AEF+△CDF+△CEF

△CDF=△ABF

△CEF=1/2-25/9

AE/ED=3/2　AD=BCなのでAE:BC=3/5

△AEF:△CBF=9:25

△AEFの面積をSとすると△CBF=(25/9)S

△ADC=1/2なので、△CEF面積は1/2-(△AEF+△CDF+△AEF)。

平行四辺形の面積を1とする

1/2 - x - (25/9)x

S=3/35

3. 最終的な答え

3/35