3点 A(1, -3), B(-1, 3), C(2/1, 8/9) を通る円の方程式を求める問題です。ただし、Cの座標はC(1/2, 9/8)と考えられます。

1. 問題の内容

3点 A(1, -3), B(-1, 3), C(2/1, 8/9) を通る円の方程式を求める問題です。ただし、Cの座標はC(1/2, 9/8)と考えられます。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおきます。

この円が3点 A, B, C を通るので、それぞれの座標を代入すると次の3つの式が得られます。

A(1, -3) を代入：

$1^2 + (-3)^2 + a(1) + b(-3) + c = 0$

$1 + 9 + a - 3b + c = 0$

$a - 3b + c = -10$ ...(1)

B(-1, 3) を代入：

$(-1)^2 + 3^2 + a(-1) + b(3) + c = 0$

$1 + 9 - a + 3b + c = 0$

$-a + 3b + c = -10$ ...(2)

C(1/2, 9/8) を代入：

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{8})^2 + a(\frac{1}{2}) + b(\frac{9}{8}) + c = 0$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{64} + \frac{1}{2}a + \frac{9}{8}b + c = 0$

$\frac{16}{64} + \frac{81}{64} + \frac{32}{64}a + \frac{72}{64}b + \frac{64}{64}c = 0$

$32a + 72b + 64c = -97$ ...(3)

(1) + (2) より

$2c = -20$

$c = -10$

これを(1)に代入すると

$a - 3b - 10 = -10$

$a - 3b = 0$

$a = 3b$ ...(4)

c = -10を(3)に代入すると

$32a + 72b - 640 = -97$

$32a + 72b = 543$

(4)を代入すると

$32(3b) + 72b = 543$

$96b + 72b = 543$

$168b = 543$

$b = \frac{543}{168} = \frac{181}{56}$

したがって

$a = 3b = 3 \times \frac{181}{56} = \frac{543}{56}$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 + \frac{543}{56}x + \frac{181}{56}y - 10 = 0$

$56x^2 + 56y^2 + 543x + 181y - 560 = 0$

3. 最終的な答え

$56x^2 + 56y^2 + 543x + 181y - 560 = 0$