DE//BCのとき、三角形ODEの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。2つ図があり、それぞれAD:DBの値が異なります。

1. 問題の内容

DE//BCのとき、三角形ODEの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。2つ図があり、それぞれAD:DBの値が異なります。

2. 解き方の手順

図(2)について:

まず、相似比を考えます。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$なので、相似比は$AD:AB$となります。

$AD=4$, $DB=8$なので、$AB = AD+DB = 4+8 = 12$。

したがって、相似比は$4:12 = 1:3$となります。

面積比は相似比の2乗なので、$\triangle ADE : \triangle ABC = 1^2:3^2 = 1:9$。

次に、$\triangle ODE$の面積を求めます。

$\triangle ADE$の面積を$S$とすると、$\triangle ABC$の面積は$9S$となります。

$AE:EC$の比を求めます。

$DE//BC$なので、$AE:EC = AD:DB = 4:8 = 1:2$。

$\triangle AOD:\triangle DOC = AD:DB = 1:2$であり、$\triangle AOE:\triangle EOB = AE:EC = 1:2$なので、$\triangle AOD = \triangle AOE$

$\triangle DOE$の面積は平行線と線分の比より、$\triangle OBE : \triangle ODE = BO:OD = 2:1$から$S_{OBE}=2S_{ODE}$となる。

$\triangle ABC$の面積を1とすると、$\triangle ADE$の面積は(1/3)*(1/3) = 1/9

また、$\triangle ADE$の面積は、$\triangle AOD + \triangle AOE + \triangle DOE$

$\triangle ODE$と$\triangle OBC$の面積比は、$(DE/BC)^2=(1/3)^2 = 1/9$

$\triangle ABC$ = $\triangle ADE + \triangle EBCD$ なので、$\triangle EBCD = 8/9$

また、$\triangle ODE$と$\triangle OBE$の面積比は$OD/OB = 1/2$

$\triangle ODC$と$\triangle OBC$の面積比は$OD/OB = 1/2$

$\triangle ODE: \triangle ABC = (1/5)(1/3)$

図(3)について:

$AD=6$, $DB=4$なので、$AB = AD+DB = 6+4 = 10$。

したがって、相似比は$6:10 = 3:5$となります。

面積比は相似比の2乗なので、$\triangle ADE : \triangle ABC = 3^2:5^2 = 9:25$。

次に、$\triangle ODE$の面積を求めます。

$AE:EC$の比を求めます。

$DE//BC$なので、$AE:EC = AD:DB = 6:4 = 3:2$。

$\triangle ODE$と$\triangle OBC$の面積比は、$(DE/BC)^2=(3/5)^2 = 9/25$

$\triangle ABC$ = $\triangle ADE + \triangle EBCD$ なので、$\triangle EBCD = 16/25$

$\triangle ODE: \triangle ABC = (3/5) / (1/2) = (3/5)^2 = 9/25$

3. 最終的な答え

図(2): 2/27倍

図(3): 6/25倍