三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=1$, $\angle BAC = 120^\circ$である。$\angle BAC$の二等分線と直線BCの交点をDとする。 以下の３通りの方法で線分ADの長さを求める。 (i) $\triangle ABD$と$\triangle ACD$の面積の比からADの長さを求める。 (ii) 余弦定理を用いてADの長さを求める。 (iii) $\triangle ABD$と$\triangle ABC$の面積比からADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=1$, $\angle BAC = 120^\circ$である。$\angle BAC$の二等分線と直線BCの交点をDとする。

以下の３通りの方法で線分ADの長さを求める。

(i) $\triangle ABD$と$\triangle ACD$の面積の比からADの長さを求める。

(ii) 余弦定理を用いてADの長さを求める。

(iii) $\triangle ABD$と$\triangle ABC$の面積比からADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(i)

$\triangle ABD$と$\triangle ACD$の面積の比は、底辺の比に等しいから、

$\triangle ABD : \triangle ACD = BD : CD$

また、角の二等分線の性質より、

$BD:CD = AB:AC = 2:1$

よって、$\triangle ABD : \triangle ACD = 2:1$

したがって、ア=2、イ=1。また、ウ=2、エ=1。

$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos{120^\circ}$

$BC^2 = 4 + 1 - 4 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 5 + 2 = 7$

$BC = \sqrt{7}$

よって、オ=7

$BD = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3}\sqrt{7}$

よって、カ=2、キ=7、ク=3

$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

よって、ケ=6、コ=0

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\angle BAD}$

$(\frac{2}{3}\sqrt{7})^2 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot \cos{60^\circ}$

$\frac{28}{9} = 4 + AD^2 - 4AD \cdot \frac{1}{2}$

$AD^2 - 2AD + 4 - \frac{28}{9} = 0$

$AD^2 - 2AD + \frac{36-28}{9} = 0$

$AD^2 - 2AD + \frac{8}{9} = 0$

よって、サ=8、シ=9

これを解くと、

$AD = \frac{2 \pm \sqrt{4 - \frac{32}{9}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{36-32}{9}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{4}{9}}}{2} = \frac{2 \pm \frac{2}{3}}{2} = 1 \pm \frac{1}{3}$

$AD = \frac{4}{3}, \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < \frac{4}{3}$より、ス=2、セ=3、ソ=4、タ=3

$\triangle ACD$において、余弦定理より、

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos{\angle CAD}$

$(\frac{1}{3}\sqrt{7})^2 = 1^2 + AD^2 - 2 \cdot 1 \cdot AD \cos{60^\circ}$

$\frac{7}{9} = 1 + AD^2 - 2AD \cdot \frac{1}{2}$

$AD^2 - AD + 1 - \frac{7}{9} = 0$

$AD^2 - AD + \frac{2}{9} = 0$

$AD = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{8}{9}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{1}{9}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{6}$

$AD = \frac{4}{6}, \frac{2}{6} = \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

ADの共通の値は、$\frac{2}{3}$

よって、チ=2、ツ=3

(ii)

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\angle ABC}$

$1 = 4 + 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} \cos{\angle ABC}$

$4\sqrt{7} \cos{\angle ABC} = 10$

$\cos{\angle ABC} = \frac{10}{4\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$

よって、テ=5、ト=7、ナ=14

$\triangle ABD$において、余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos{\angle ABC}$

$AD^2 = 4 + \frac{28}{9} - 2 \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14}$

$AD^2 = \frac{36+28}{9} - \frac{4 \cdot 10 \cdot 7}{3 \cdot 14} = \frac{64}{9} - \frac{40 \cdot 7}{42} = \frac{64}{9} - \frac{20}{3} = \frac{64-60}{9} = \frac{4}{9}$

$AD = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(iii)

$\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot AD \sin{60^\circ} = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}AD$

よって、ヌ=3、ネ=2

$\triangle ABC = \frac{1}{2}AB \cdot AC \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin{120^\circ} = \sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\triangle ABD}{\triangle ABC} = \frac{BD}{BC} = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2}{3}$

$\triangle ABD = \frac{2}{3} \triangle ABC = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

よって、ノ=3、ハ=3

$\triangle ABD = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}AD = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$AD = \frac{2}{3}$

よって、ヒ=3、フ=3

3. 最終的な答え

ア=2、イ=1、ウ=2、エ=1、オ=7、カ=2、キ=7、ク=3、ケ=6、コ=0、サ=8、シ=9、ス=2、セ=3、ソ=4、タ=3、チ=2、ツ=3、テ=5、ト=7、ナ=14、ヌ=3、ネ=2、ノ=3、ハ=3、ヒ=3、フ=3

線分ADの長さは $\frac{2}{3}$