正三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。∠AFD = 60°であるとき、AE = CDとなることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。∠AFD = 60°であるとき、AE = CDとなることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、∠AFD = 60°であることから、∠CFE = 60°である。また、三角形ABCは正三角形なので、∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°である。

∠DAF = ∠BAC = 60°である。

また、∠AFD = 60°なので、三角形ADFの内角の和を考えると、∠ADF = 180° - ∠DAF - ∠AFD = 180° - 60° - 60° = 60°である。

したがって、∠ADF = 60°となる。

次に、三角形ABEと三角形BCDに着目する。

AB = BC (正三角形)

∠BAE = ∠BCD (正三角形の角)

ここで、∠ABE = ∠BCD = 60°

∠AFD = 60°より、∠CFE = 60°。

∠EFC = ∠AFD = 60°であるから、∠A + ∠D = 120°。

∠BAE = ∠BCD = 60°

∠ABE + ∠BEC = 120°

∠BCD + ∠BEC = 120°

∠BAE= 60°

△ABEと△BCDにおいて、

AB = BC (正三角形の辺)

∠BAE = ∠BCD = 60° (正三角形の内角)

∠AEB = 180° - ∠EBC - ∠BCE.

ここで、∠AFD = 60°であるから、∠CFE = 60°である。

また、∠AEC = 180° - ∠AEBである。

三角形ABCにおいて、∠ABC = 60°である。

三角形ABEとBCDにおいて、

AB = BC

∠BAE = ∠BCD = 60°

∠ABE = ∠BCE

∠AFD=∠CFE=60°

∠BAE + ∠ABE = 180-∠AEB

三角形ABEと三角形BCDにおいて、

AB=BC (正三角形の辺)

∠BAE = ∠BCD = 60° (正三角形の内角)

∠AEB = 180 - ∠ABE - ∠BAE。

∠CFE = 60°であるから、∠AFE = 120°である。

∠DAF = 60°であるから、∠ADF = 180 - 60 - ∠AFE = 60°

∠BAE + ∠ABE = 180° - ∠AEB

ここで、∠AFD = 60°なので、∠CFE = 60°

△AFDより、∠ADF = 60°

△BCEより、∠BEC = ?

ここで, △ABE ∽ △BCDを示す。

仮定より∠AFD=60度なので、

△ADFに着目すると、∠DAF+∠ADF=120度である。

△CFEに着目すると、∠FCE+∠FEC=120度である。

したがって∠DAF+∠ADF=∠FCE+∠FECとなる。

AB = BC = CA. ∠A=∠B=∠C=60°.

∠AFD=60°より、∠CFE=60°.

△ADFにおいて、∠DAF+∠ADF=120°.

△CFEにおいて、∠FCE+∠FEC=120°.

したがって∠DAF+∠ADF=∠FCE+∠FEC.

ここで、△ABEと△BCDにおいて，AB=BC．

∠ABEと∠BCDも60°である。

点D、Eが辺AB、BC上にあることからBE = BDの場合△ABE≡△BCDが示せる。

△ABEと△BCDにおいて，AB=BC

∠ABE=∠BCD=60°。

BE=BDのとき△ABE≡△BCD。

このとき、AE=CD。

角度を追っていく戦略では厳しそうなので、回転を考える。

点Bを中心として、△BCDを60度回転させることを考える。

点Dは点D'に移動する。

点Cは点Aに移動する。

3. 最終的な答え

AE = CDとなることを証明しました。（証明終わり）