3つの直線 $x$軸、直線 $y=x$、直線 $(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$ が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの直線 $x$軸、直線 $y=x$、直線 $(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$ が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らないのは、以下のいずれかの場合です。

* 3つの直線が平行である。

* 3つの直線が1点で交わる。

まず、各直線の傾きを求めます。

* 直線 $x$ 軸の式は $y=0$なので、傾きは0です。

* 直線 $y=x$ の傾きは1です。

* 直線 $(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$を$y$について解きます。

$(a-1)y=-(2a+1)x-2+5a$

$y=-\frac{2a+1}{a-1}x+\frac{5a-2}{a-1}$

よって、この直線の傾きは$-\frac{2a+1}{a-1}$ です。ただし、$a \neq 1$とします。

(1) 3つの直線が平行である場合：

3つの直線がすべて平行になることはありません。なぜなら、$y=0$と$y=x$は平行ではないからです。したがって、2つの直線が平行になる場合を考えます。

* $x$軸と$(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$が平行になる場合、$-\frac{2a+1}{a-1}=0$ より、$2a+1=0$なので、$a=-\frac{1}{2}$

* $y=x$と$(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$が平行になる場合、$-\frac{2a+1}{a-1}=1$ より、$2a+1=-a+1$なので、$3a=0$ よって$a=0$

(2) 3つの直線が1点で交わる場合：

直線 $y=0$と$y=x$の交点は $(0,0)$ です。

この点 $(0,0)$ が直線 $(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$上にあるとき、3つの直線は1点で交わります。

$(2a+1)(0)+(a-1)(0)+2-5a=0$

$2-5a=0$

$5a=2$

$a=\frac{2}{5}$

最後に、$a=1$ のとき、直線 $(2a+1)x+(a-1)y+2-5a=0$ は $(2(1)+1)x+(1-1)y+2-5(1)=0$となり、$3x-3=0$つまり、$x=1$となります。$x=1$ は $x$軸、 $y=x$と三角形を作ります。

3. 最終的な答え

$a=-\frac{1}{2}, 0, \frac{2}{5}$