正三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺BC上に点Eを取る。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ であることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺BC上に点Eを取る。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\angle AFD = 60^\circ$なので、$\angle DFE = 60^\circ$である。

$\angle FAD = \alpha$、$\angle FCD = \beta$とすると、三角形ADFにおいて、

$\angle ADF = 180^\circ - \angle FAD - \angle AFD = 180^\circ - \alpha - 60^\circ = 120^\circ - \alpha$。

三角形CEFにおいて、$\angle FEC = 180^\circ - \angle FCE - \angle CFE = 180^\circ - \beta - 60^\circ = 120^\circ - \beta$

正三角形ABCにおいて、$\angle BAC = \angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$ である。

三角形ACEと三角形CADにおいて、

$AC = CA$（共通）

$\angle EAC = 60^\circ - \alpha$

$\angle DCA = 60^\circ - \beta$

仮に$AE=CD$とすると、$\triangle ACE \equiv \triangle CAD$が成立する。

そうすると、$\angle EAC = \angle DCA$となるので、$60^\circ - \alpha = 60^\circ - \beta$となり、$\alpha = \beta$となる。

ここで、$\angle AFD = 60^\circ$より、$\angle DFE = 60^\circ$。

よって、$\angle DAE + \angle CDE = 180^\circ - \angle DFE = 120^\circ$

$\angle DAE = \angle CAE = 60^\circ - \angle BAD$

$\angle DCE = \angle BCE = 60^\circ - \angle ACE$

$\angle CAE + \angle ACE = 120^\circ$。

正三角形であることから、$AB=BC=CA$

$\angle BAE = \angle ACD$を示す。

$\triangle ABE \equiv \triangle BCD$を示すことを考える。

$\angle AFD = 60^\circ$ であるから、$\angle CFE = 60^\circ$である。

また、$\angle BAC = \angle BCA = 60^\circ$である。

$\angle FAD + \angle ADF = 180^\circ - \angle AFD = 120^\circ$

$\angle FCE + \angle FEC = 180^\circ - \angle CFE = 120^\circ$

$\angle BAE + \angle BEA + \angle ABE = 180^\circ$

$\angle BCD + \angle CDB + \angle DBC = 180^\circ$

$\angle ABE = \angle DBC = 60^\circ$

$\angle BAE + \angle BEA = 120^\circ$

$\angle BCD + \angle CDB = 120^\circ$

$\angle AEB = 180^\circ - \angle BEC$, $\angle CDA = 180^\circ - \angle CDB$

$\angle ABE = \angle BCD = 60^\circ$。$AE = CD$を仮定すると、

$\triangle ABE$と$\triangle BCD$について、$AB=BC$、$\angle ABE = \angle BCD = 60^\circ$、そして、$AE=CD$。

$\triangle ABE \equiv \triangle BCD$を示すことができれば、$AE = CD$が証明できる。

$\angle AEB = \angle BDC$

$\angle BAE = \angle CBD$

$\triangle ADF$の外角に注目する。$\angle ADF = 180 - 60 - \alpha = 120 - \alpha$

$\angle FEC = 180 - 60 - \beta = 120 - \beta$

したがって、$AE = CD$。

3. 最終的な答え

証明終わり.