放物線 $y=x^2$ 上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 3である。直線ABとy軸との交点をCとし、傾きが2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点Dの座標を求めよ。 (2) 直線ABの式を求めよ。 (3) $\triangle ADB$ の面積を求めよ。 (4) $\triangle BCD$ の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるようなx軸上の点Pは2つある。点Pのx座標を求めよ。 (5) $\triangle AQB$ の周の長さが最小になるようにx軸上に点Qをとる。点Qのx座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 3である。直線ABとy軸との交点をCとし、傾きが2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点Dの座標を求めよ。

(2) 直線ABの式を求めよ。

(3) $\triangle ADB$ の面積を求めよ。

(4) $\triangle BCD$ の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるようなx軸上の点Pは2つある。点Pのx座標を求めよ。

(5) $\triangle AQB$ の周の長さが最小になるようにx軸上に点Qをとる。点Qのx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める。

点Bの座標は、x座標が3なので、$y = 3^2 = 9$ より、(3, 9)。

傾きが2で点B(3, 9)を通る直線の式は、

$y - 9 = 2(x - 3)$

$y = 2x - 6 + 9$

$y = 2x + 3$

点Dはy軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると、

$y = 2(0) + 3 = 3$

よって、点Dの座標は(0, 3)。

(2) 直線ABの式を求める。

点Aの座標は、x座標が-2なので、$y = (-2)^2 = 4$ より、(-2, 4)。

点Bの座標は(3, 9)。

直線ABの傾きは、$\frac{9-4}{3-(-2)} = \frac{5}{5} = 1$

直線ABの式を $y = x + b$ とおくと、点A(-2, 4)を通るので、

$4 = -2 + b$

$b = 6$

よって、直線ABの式は $y = x + 6$。

(3) $\triangle ADB$ の面積を求める。

点A(-2, 4), 点B(3, 9), 点D(0, 3)

$\triangle ADB$ の面積は、

$\frac{1}{2} |(-2(9-3) + 3(3-4) + 0(4-9))|$

$= \frac{1}{2} |(-2(6) + 3(-1) + 0)|$

$= \frac{1}{2} |(-12 - 3)|$

$= \frac{1}{2} |-15|$

$= \frac{15}{2}$

(4) $\triangle BCD$ の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるような点Pのx座標を求める。

点B(3, 9), 点C(0, 6), 点D(0, 3)。

$\triangle BCD$ の面積は、$\frac{1}{2} \times (6-3) \times 3 = \frac{9}{2}$

点Pの座標を(p, 0)とおくと、

$\triangle BCP$ の面積は、$\frac{1}{2} |(3(6-0) + 0(0-9) + p(9-6))| = \frac{1}{2} |18 + 3p|$

$\frac{1}{2} |18 + 3p| = \frac{9}{2}$

$|18 + 3p| = 9$

$18 + 3p = 9$ または $18 + 3p = -9$

$3p = -9$ または $3p = -27$

$p = -3$ または $p = -9$

よって、点Pのx座標は-3, -9。

(5) $\triangle AQB$ の周の長さが最小になるように点Qのx座標を求める。

A(-2, 4), B(3, 9)

Q(x, 0)

$\triangle AQB$ の周の長さは、$AQ + QB + AB$。$AB$ は定数なので、$AQ + QB$ が最小になるとき、周の長さも最小になる。

点Aをx軸に関して対称移動した点をA'とすると、A'(-2, -4)。

$AQ = A'Q$ なので、$AQ + QB = A'Q + QB$。

これが最小になるのは、A', Q, Bが一直線上に並ぶとき。

直線A'Bの式を求める。

傾きは $\frac{9 - (-4)}{3 - (-2)} = \frac{13}{5}$

$y - 9 = \frac{13}{5}(x - 3)$

$y = \frac{13}{5}x - \frac{39}{5} + 9 = \frac{13}{5}x + \frac{6}{5}$

点Qはx軸上にあるので、$y = 0$

$0 = \frac{13}{5}x + \frac{6}{5}$

$\frac{13}{5}x = -\frac{6}{5}$

$x = -\frac{6}{13}$

3. 最終的な答え

(1) (0, 3)

(2) $y = x + 6$

(3) $\frac{15}{2}$

(4) -3, -9

(5) $-\frac{6}{13}$