$n$ ($n \ge 5$) 角形に関する以下の2つの問題を解く： (1) 対角線の本数が20本であるとき、$n$の値を求める。 (2) 正$n$角形の4つの頂点を結んで四角形を作るとき、正$n$角形と2辺を共有する四角形の個数が750個のとき、$n$の値を求める。

1. 問題の内容

$n$ ($n \ge 5$) 角形に関する以下の2つの問題を解く：

(1) 対角線の本数が20本であるとき、$n$の値を求める。

(2) 正$n$角形の4つの頂点を結んで四角形を作るとき、正$n$角形と2辺を共有する四角形の個数が750個のとき、$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線の本数について考える。$n$角形の対角線の本数は、$\frac{n(n-3)}{2}$ で表される。したがって、

$\frac{n(n-3)}{2} = 20$

$n(n-3) = 40$

$n^2 - 3n - 40 = 0$

$(n-8)(n+5) = 0$

$n = 8, -5$

$n \ge 5$ より、$n = 8$

(2) 正$n$角形と2辺を共有する四角形の個数について考える。正$n$角形において、2辺を共有する四角形を作るには、隣り合う2つの頂点を選び、残りの2つの頂点を選ぶ必要がある。隣り合う2つの頂点の選び方は $n$ 通りある。残りの2つの頂点は、選んだ隣り合う2つの頂点と隣り合わないように選ぶ必要がある。

$n$個の頂点から隣り合う2つの頂点を選んだとき、残りの頂点は$n-2$個。そのうち、選んだ頂点に隣り合う頂点は各々1つなので、除外される頂点は2つ。したがって、残りの頂点から2つを選ぶ方法は $_{n-4}C_2$ 通り。よって、正$n$角形と2辺を共有する四角形の個数は、 $n \times {}_{n-4}C_2$ で表される。

$n \times {}_{n-4}C_2 = 750$

$n \times \frac{(n-4)(n-5)}{2} = 750$

$n(n-4)(n-5) = 1500$

$n(n^2 - 9n + 20) = 1500$

$n^3 - 9n^2 + 20n - 1500 = 0$

$n$ は自然数なので、$n$ は 1500 の約数である。 $n \ge 5$ より、いくつか試すと、$n = 15$ が解であることがわかる。

$(n - 15)(n^2 + 6n + 100) = 0$

$n^2 + 6n + 100 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$n = 15$

3. 最終的な答え

(1) $n = 8$

(2) $n = 15$