点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 点A(0,0)からの距離と点B(3,0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めます。 (2) 点A(-2,0)からの距離と点B(1,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 点A(0,0)からの距離と点B(3,0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めます。

(2) 点A(-2,0)からの距離と点B(1,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(0,0)と点P(x,y)の距離は$\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$です。

点B(3,0)と点P(x,y)の距離は$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$です。

これらの距離の比が1:2なので、

$\sqrt{x^2 + y^2} : \sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 1 : 2$

$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-3)^2 + y^2}} = \frac{1}{2}$

両辺を2乗すると、

$\frac{x^2 + y^2}{(x-3)^2 + y^2} = \frac{1}{4}$

$4(x^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$3x^2 + 6x + 3y^2 = 9$

$x^2 + 2x + y^2 = 3$

$(x+1)^2 - 1 + y^2 = 3$

$(x+1)^2 + y^2 = 4$

(2)

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(-2,0)と点P(x,y)の距離は$\sqrt{(x+2)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$です。

点B(1,0)と点P(x,y)の距離は$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$です。

これらの距離の比が2:1なので、

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} : \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 : 1$

$\frac{\sqrt{(x+2)^2 + y^2}}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}} = \frac{2}{1}$

両辺を2乗すると、

$\frac{(x+2)^2 + y^2}{(x-1)^2 + y^2} = 4$

$(x+2)^2 + y^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 12x + 3y^2$

$0 = x^2 - 4x + y^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4$

$(x-2)^2 + y^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^2 + y^2 = 4$ (中心(-1, 0)、半径2の円)

(2) $(x-2)^2 + y^2 = 4$ (中心(2, 0)、半径2の円)