正 $n$ 角形に関する以下の2つの問題を解きます。 (1) 対角線の本数が20本であるとき、$n$ の値を求めます。 (2) 正 $n$ 角形の4つの頂点を結んで四角形を作るとき、正 $n$ 角形と2辺を共有する四角形の個数が750であるとき、$n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

正 $n$ 角形に関する以下の2つの問題を解きます。

(1) 対角線の本数が20本であるとき、$n$ の値を求めます。

(2) 正 $n$ 角形の4つの頂点を結んで四角形を作るとき、正 $n$ 角形と2辺を共有する四角形の個数が750であるとき、$n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

正 $n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で表されます。

したがって、$\frac{n(n-3)}{2} = 20$ という式が成り立ちます。

この式を解いて $n$ の値を求めます。

$n(n-3) = 40$

$n^2 - 3n - 40 = 0$

$(n-8)(n+5) = 0$

$n = 8, -5$

$n$ は5以上の自然数なので、$n = 8$。

(2)

正 $n$ 角形と2辺を共有する四角形を作るには、正 $n$ 角形の隣り合う2つの頂点を選び、残りの2つの頂点を決めれば良いです。

隣り合う2つの頂点の選び方は $n$ 通りあります。

残りの2つの頂点は、選んだ2つの頂点と隣り合う頂点以外の頂点から選ぶ必要があります。

隣り合う頂点以外の頂点は $n - 4$ 個あります。

$n-4$ 個から2つの頂点を選ぶ組み合わせは ${}_{n-4}C_2 = \frac{(n-4)(n-5)}{2}$ 通りです。

したがって、正 $n$ 角形と2辺を共有する四角形の個数は $n \cdot \frac{(n-4)(n-5)}{2}$ で表されます。

問題文より、$n \cdot \frac{(n-4)(n-5)}{2} = 750$ という式が成り立ちます。

この式を解いて $n$ の値を求めます。

$\frac{n(n-4)(n-5)}{2} = 750$

$n(n-4)(n-5) = 1500$

$n(n^2 - 9n + 20) = 1500$

$n^3 - 9n^2 + 20n - 1500 = 0$

$n$ は整数であることから、$n$ は1500の約数であると推測できます。

また、$n$ は5以上の自然数である必要があるので、$n$ に適当な値を代入して方程式を満たすかどうかを調べます。

$n = 10$ を代入すると、

$1000 - 900 + 200 - 1500 = -1200 \neq 0$

$n = 15$ を代入すると、

$3375 - 2025 + 300 - 1500 = 150 \neq 0$

$n=25$を代入すると

$25*21*20=25*420=10500$

ここで、$f(n) = n(n-4)(n-5)$ という関数を考えます。

$n$ が大きくなると、$f(n)$ も大きくなるので、$n$ は10と15の間くらいだと推測できます。

$n^3 - 9n^2 + 20n - 1500 = (n-15)(n^2 + 6n + 100)=0$

$n^2 + 6n + 100 = 0$ は実数解を持たないため、$n = 15$ が唯一の実数解です。

3. 最終的な答え

(1) $n = 8$

(2) $n = 15$