正六角錐 O-ABCDEF において、正六角形 ABCDEF の一辺の長さが 6cm で、他の辺の長さもすべて 6cm である。正六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD, BE, CF は1点で交わり、その交点を H とすると ∠OHA = 90° となる。線分 OH の長さが 9cm のとき、以下の問いに答える。 (1) 辺 OA の長さを求める。 (2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。
2025/7/27
1. 問題の内容
正六角錐 O-ABCDEF において、正六角形 ABCDEF の一辺の長さが 6cm で、他の辺の長さもすべて 6cm である。正六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD, BE, CF は1点で交わり、その交点を H とすると ∠OHA = 90° となる。線分 OH の長さが 9cm のとき、以下の問いに答える。
(1) 辺 OA の長さを求める。
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。
2. 解き方の手順
(1) 辺 OA の長さを求める。
三角形 OHA は直角三角形なので、三平方の定理を用いる。
AH の長さを求める。正六角形の中心から頂点までの距離は一辺の長さに等しいので、AH = 6cm である。
三平方の定理より、
cm
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。
正六角錐の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 で求められる。
底面積は正六角形 ABCDEF である。正六角形は、一辺が 6cm の正三角形が 6 個集まったものである。正三角形の面積は (aは一辺の長さ) で求められるので、正六角形の面積は である。
高さは OH = 9cm である。
よって、正六角錐の体積は である。
3. 最終的な答え
(1) 辺 OA の長さ: cm
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積: