正六角錐 O-ABCDEF において、正六角形 ABCDEF の一辺の長さが 6cm で、他の辺の長さもすべて 6cm である。正六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD, BE, CF は1点で交わり、その交点を H とすると ∠OHA = 90° となる。線分 OH の長さが 9cm のとき、以下の問いに答える。 (1) 辺 OA の長さを求める。 (2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。

幾何学正六角錐三平方の定理体積正六角形
2025/7/27

1. 問題の内容

正六角錐 O-ABCDEF において、正六角形 ABCDEF の一辺の長さが 6cm で、他の辺の長さもすべて 6cm である。正六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD, BE, CF は1点で交わり、その交点を H とすると ∠OHA = 90° となる。線分 OH の長さが 9cm のとき、以下の問いに答える。
(1) 辺 OA の長さを求める。
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 辺 OA の長さを求める。
三角形 OHA は直角三角形なので、三平方の定理を用いる。
AH の長さを求める。正六角形の中心から頂点までの距離は一辺の長さに等しいので、AH = 6cm である。
三平方の定理より、
OA2=OH2+AH2OA^2 = OH^2 + AH^2
OA2=92+62OA^2 = 9^2 + 6^2
OA2=81+36OA^2 = 81 + 36
OA2=117OA^2 = 117
OA=117=9×13=313OA = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} cm
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積を求める。
正六角錐の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 で求められる。
底面積は正六角形 ABCDEF である。正六角形は、一辺が 6cm の正三角形が 6 個集まったものである。正三角形の面積は 34a2\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 (aは一辺の長さ) で求められるので、正六角形の面積は 6×34×62=6×34×36=6×93=5436 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 6 \times 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} cm2cm^2 である。
高さは OH = 9cm である。
よって、正六角錐の体積は 543×9÷3=543×3=162354\sqrt{3} \times 9 \div 3 = 54\sqrt{3} \times 3 = 162\sqrt{3} cm3cm^3 である。

3. 最終的な答え

(1) 辺 OA の長さ: 3133\sqrt{13} cm
(2) 正六角錐 O-ABCDEF の体積: 1623162\sqrt{3} cm3cm^3

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