問題は、与えられた2点を通る直線の媒介変数表示と、$xyz$座標を用いた方程式を求める問題です。 (1)は2点A(-1,0,5)とB(2,3,7)を通る直線、(2)は2点A(1,1,1)とB(2,1,2)を通る直線について、それぞれ解を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた2点を通る直線の媒介変数表示と、$xyz$座標を用いた方程式を求める問題です。

(1)は2点A(-1,0,5)とB(2,3,7)を通る直線、(2)は2点A(1,1,1)とB(2,1,2)を通る直線について、それぞれ解を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

2点A($x_1, y_1, z_1$)とB($x_2, y_2, z_2$)を通る直線の媒介変数表示は、実数$t$を用いて以下のように表されます。

$x = x_1 + t(x_2 - x_1)$

$y = y_1 + t(y_2 - y_1)$

$z = z_1 + t(z_2 - z_1)$

A(-1,0,5), B(2,3,7)の場合、

$x = -1 + t(2 - (-1)) = -1 + 3t$

$y = 0 + t(3 - 0) = 3t$

$z = 5 + t(7 - 5) = 5 + 2t$

$xyz$座標を用いた方程式は、媒介変数$t$を消去して求めます。

$t = \frac{x+1}{3}$

$t = \frac{y}{3}$

$t = \frac{z-5}{2}$

よって、

$\frac{x+1}{3} = \frac{y}{3} = \frac{z-5}{2}$

(2)

A(1,1,1), B(2,1,2)の場合、

$x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t$

$y = 1 + t(1 - 1) = 1$

$z = 1 + t(2 - 1) = 1 + t$

$xyz$座標を用いた方程式は、

$t = x - 1$

$y = 1$

$t = z - 1$

よって、

$x - 1 = z - 1$

$y = 1$

整理すると、

$x = z$

$y = 1$

3. 最終的な答え

(1) 媒介変数表示:

$x = -1 + 3t$

$y = 3t$

$z = 5 + 2t$

$xyz$座標を用いた方程式:

$\frac{x+1}{3} = \frac{y}{3} = \frac{z-5}{2}$

(2) 媒介変数表示:

$x = 1 + t$

$y = 1$

$z = 1 + t$

$xyz$座標を用いた方程式:

$x = z$

$y = 1$