3点A(1, -1, 0), B(2, 0, 1), C(3, -1, 3)を通る平面の媒介変数表示と、$xyz$ 座標を用いた方程式を求める。

1. 問題の内容

3点A(1, -1, 0), B(2, 0, 1), C(3, -1, 3)を通る平面の媒介変数表示と、$xyz$ 座標を用いた方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面上の2つのベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2-1, 0-(-1), 1-0) = (1, 1, 1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3-1, -1-(-1), 3-0) = (2, 0, 3)$

次に、媒介変数表示を求める。平面上の任意の点P $(x, y, z)$ は、

$\vec{OP} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$ で表せる。ここで、$s, t$ は実数のパラメータ。

$(x, y, z) = (1, -1, 0) + s(1, 1, 1) + t(2, 0, 3) = (1+s+2t, -1+s, s+3t)$

したがって、媒介変数表示は次のようになる。

$x = 1 + s + 2t$

$y = -1 + s$

$z = s + 3t$

次に、$xyz$ 座標を用いた方程式を求める。

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積を計算する。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 1, 1) \times (2, 0, 3) = (3-0, 2-3, 0-2) = (3, -1, -2)$

$\vec{n}$ は平面の法線ベクトルである。

平面の方程式は、$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ で表せる。ここで、$(a, b, c)$ は法線ベクトル、$(x_0, y_0, z_0)$ は平面上の点。

ここでは、A(1, -1, 0) を用いる。

$3(x-1) -1(y-(-1)) -2(z-0) = 0$

$3x - 3 - y - 1 - 2z = 0$

$3x - y - 2z - 4 = 0$

したがって、$3x - y - 2z = 4$ が平面の方程式となる。

3. 最終的な答え

媒介変数表示:

$x = 1 + s + 2t$

$y = -1 + s$

$z = s + 3t$

$xyz$ 座標を用いた方程式:

$3x - y - 2z = 4$