右図において、$AB=8$, $AE=5$, $CE=2$, $BD=x$とする。 (1) ある円が直線$AB$と$AC$にそれぞれ点$D$, $E$で接するとき、$x$の値を求めよ。 (2) 点$F$が線分$BE$を7:4に内分するとき、$x$の値を求めよ。 (3) 4点$B, C, D, E$が同一円周上にあるとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、$AB=8$, $AE=5$, $CE=2$, $BD=x$とする。

(1) ある円が直線$AB$と$AC$にそれぞれ点$D$, $E$で接するとき、$x$の値を求めよ。

(2) 点$F$が線分$BE$を7:4に内分するとき、$x$の値を求めよ。

(3) 4点$B, C, D, E$が同一円周上にあるとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円が$AB$, $AC$にそれぞれ点$D, E$で接しているので、$AD=AE=5$。

したがって、$BD = AB - AD = 8 - 5 = 3$。

$x=3$。

(2) メネラウスの定理を$\triangle ABE$と直線$CD$に適用すると、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{EC}{CA} = 1$

$\frac{8-x}{x} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} = 1$

$\frac{8-x}{x} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$8-x = 2x$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

(3) 4点$B, C, D, E$が同一円周上にあるとき、$AD \cdot AB = AE \cdot AC$が成り立つ。

$AD=8-x$, $AB=8$, $AE=5$, $AC=5+2=7$ より、

$(8-x) \cdot 8 = 5 \cdot 7$

$64 - 8x = 35$

$8x = 64 - 35 = 29$

$x = \frac{29}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x = \frac{8}{3}$

(3) $x = \frac{29}{8}$