$0 \le \theta < 2\pi$のとき、次の方程式を解け。また、$\theta$の範囲に制限がないときの解を求めよ。 (1) $\sin\theta = \frac{1}{2}$ (2) $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ (3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$のとき、次の方程式を解け。また、$\theta$の範囲に制限がないときの解を求めよ。

(1) $\sin\theta = \frac{1}{2}$

(2) $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

(3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta = \frac{1}{2}$の場合

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\sin\theta = \frac{1}{2}$となる$\theta$を求める。

$\sin\theta = \frac{1}{2}$となるのは、$\theta = \frac{\pi}{6}$と$\theta = \frac{5\pi}{6}$。

$\theta$の範囲に制限がないときの解は、$\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$と$\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ (nは整数)。

(2) $\cos\theta = -\frac{1}{2}$の場合

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\cos\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$を求める。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$となるのは、$\theta = \frac{2\pi}{3}$と$\theta = \frac{4\pi}{3}$。

$\theta$の範囲に制限がないときの解は、$\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$と$\theta = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)。

(3) $\tan\theta = -\sqrt{3}$の場合

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で$\tan\theta = -\sqrt{3}$となる$\theta$を求める。

$\tan\theta = -\sqrt{3}$となるのは、$\theta = \frac{2\pi}{3}$と$\theta = \frac{5\pi}{3}$。

$\theta$の範囲に制限がないときの解は、$\tan\theta$の周期が$\pi$であることから、$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)。

3. 最終的な答え

(1)

$0 \le \theta < 2\pi$のとき: $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\theta$の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ (nは整数)

(2)

$0 \le \theta < 2\pi$のとき: $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$\theta$の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)

(3)

$0 \le \theta < 2\pi$のとき: $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\theta$の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)