$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求めます。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求めます。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{2\pi}{3}$ が解です。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、一般解は $\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)となります。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ と $\theta = \frac{5\pi}{4}$ が解です。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、一般解は $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)となります。

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ が解です。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、一般解は $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)となります。

3. 最終的な答え

(1)

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\theta$ に制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)

(2)

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$\theta$ に制限がないとき: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

(3)

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$\theta$ に制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)