$a > 0$ とする。$(x+a)(x+b)^2$ を展開したとき、$x^2$ の係数が $0$ で、$x$ の係数が $-3$ である。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。$(x+a)(x+b)^2$ を展開したとき、$x^2$ の係数が $0$ で、$x$ の係数が $-3$ である。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(x+a)(x+b)^2$ を展開する。

$(x+a)(x+b)^2 = (x+a)(x^2+2bx+b^2) = x^3 + 2bx^2 + b^2x + ax^2 + 2abx + ab^2 = x^3 + (2b+a)x^2 + (b^2+2ab)x + ab^2$

$x^2$ の係数が $0$ であるから、

$2b+a = 0$

$x$ の係数が $-3$ であるから、

$b^2+2ab = -3$

$2b+a = 0$ より、$a = -2b$。 $a>0$ より、$b < 0$。

$b^2+2ab = -3$ に $a = -2b$ を代入すると、

$b^2 + 2(-2b)b = -3$

$b^2 - 4b^2 = -3$

$-3b^2 = -3$

$b^2 = 1$

$b = \pm 1$

$b < 0$ より、$b = -1$。

$a = -2b = -2(-1) = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$