問題は、与えられた2つの3x3行列の逆行列を余因子行列を用いて求めることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた2つの3x3行列の逆行列を余因子行列を用いて求めることです。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 0 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3) + 2 \cdot (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) = 0 - (-2 - 3) + 2 \cdot (0 + 3) = 5 + 6 = 11$

次に、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0 = 1$

$C_{12} = -(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3) = -(-2 - 3) = 5$

$C_{13} = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3 = 3$

$C_{21} = -(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) = -(-1) = 1$

$C_{22} = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -6$

$C_{23} = -(0 \cdot 0 - 1 \cdot 3) = -(-3) = 3$

$C_{31} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$

$C_{32} = -(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -(-4) = 4$

$C_{33} = 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 = -2$

余因子行列は $C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & 3 \\ 3 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ となります。

転置余因子行列 (随伴行列) $C^T$ は $C^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & -6 & 4 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ となります。

逆行列 $A^{-1}$ は $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & -6 & 4 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ となります。

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 2 & 3 & -4 \\ 1 & -6 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

まず、行列 $B$ の行列式 $|B|$ を計算します。

$|B| = 5 \cdot (3 \cdot 4 - (-4) \cdot (-6)) - (-2) \cdot (2 \cdot 4 - (-4) \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot (-6) - 3 \cdot 1) = 5 \cdot (12 - 24) + 2 \cdot (8 + 4) - ( -12 - 3) = 5 \cdot (-12) + 2 \cdot 12 - (-15) = -60 + 24 + 15 = -21$

次に、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = 3 \cdot 4 - (-4) \cdot (-6) = 12 - 24 = -12$

$C_{12} = -(2 \cdot 4 - (-4) \cdot 1) = -(8 + 4) = -12$

$C_{13} = 2 \cdot (-6) - 3 \cdot 1 = -12 - 3 = -15$

$C_{21} = -((-2) \cdot 4 - (-1) \cdot (-6)) = -(-8 - 6) = 14$

$C_{22} = 5 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 = 20 + 1 = 21$

$C_{23} = -(5 \cdot (-6) - (-2) \cdot 1) = -(-30 + 2) = 28$

$C_{31} = (-2) \cdot (-4) - (-1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11$

$C_{32} = -(5 \cdot (-4) - (-1) \cdot 2) = -(-20 + 2) = 18$

$C_{33} = 5 \cdot 3 - (-2) \cdot 2 = 15 + 4 = 19$

余因子行列は $C = \begin{pmatrix} -12 & -12 & -15 \\ 14 & 21 & 28 \\ 11 & 18 & 19 \end{pmatrix}$ となります。

転置余因子行列 (随伴行列) $C^T$ は $C^T = \begin{pmatrix} -12 & 14 & 11 \\ -12 & 21 & 18 \\ -15 & 28 & 19 \end{pmatrix}$ となります。

逆行列 $B^{-1}$ は $B^{-1} = \frac{1}{|B|} C^T = \frac{1}{-21} \begin{pmatrix} -12 & 14 & 11 \\ -12 & 21 & 18 \\ -15 & 28 & 19 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & -6 & 4 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \frac{1}{-21} \begin{pmatrix} -12 & 14 & 11 \\ -12 & 21 & 18 \\ -15 & 28 & 19 \end{pmatrix}$