与えられた数列 $a_n$ が、以下の式で定義されていることを示しています。 $a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \left( \frac{1}{8} \right)^{n-1} + \frac{1}{7} \right\} = \frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{9}{4^{n-1}} \right)$

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ が、以下の式で定義されていることを示しています。

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \left( \frac{1}{8} \right)^{n-1} + \frac{1}{7} \right\} = \frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{9}{4^{n-1}} \right)$

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形して右辺に等しくなることを示します。

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \left( \frac{1}{8} \right)^{n-1} + \frac{1}{7} \right\}$

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \frac{1}{8^{n-1}} + \frac{1}{7} \right\}$

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \frac{1}{(2^3)^{n-1}} + \frac{1}{7} \right\}$

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14} \frac{1}{2^{3n-3}} + \frac{1}{7} \right\}$

$a_n = 2^n \left\{ - \frac{9}{14 \cdot 2^{3n-3}} + \frac{1}{7} \right\}$

$a_n = - \frac{9 \cdot 2^n}{14 \cdot 2^{3n-3}} + \frac{2^n}{7}$

$a_n = - \frac{9}{14 \cdot 2^{2n-3}} + \frac{2^n}{7}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{9}{14 \cdot 2^{2n-3}}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{9}{14 \cdot 2^{2n} \cdot 2^{-3}}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{9}{14 \cdot 2^{2n} / 8}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{9 \cdot 8}{14 \cdot 4^{n}}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{9 \cdot 4}{7 \cdot 4^n}$

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{36}{7 \cdot 4^n}$

ここから、右辺の形にするために式を整理します。

$\frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{9}{4^{n-1}} \right) = \frac{2^n}{7} - \frac{9}{7 \cdot 4^{n-1}} = \frac{2^n}{7} - \frac{9 \cdot 4}{7 \cdot 4^n} = \frac{2^n}{7} - \frac{36}{7 \cdot 4^n}$

両辺の式が一致することを確認します。

$a_n = \frac{2^n}{7} - \frac{36}{7 \cdot 4^n} = \frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{36}{4^n} \right)$.

式を修正します。

$\frac{9}{4^{n-1}} = \frac{9\times 4}{4^n} = \frac{36}{4^n}$

したがって、$a_n = \frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{9}{4^{n-1}} \right) = \frac{2^n}{7} - \frac{36}{7 \cdot 4^n}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{7} \left( 2^n - \frac{9}{4^{n-1}} \right)$