$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\pi < \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\pi < \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

$\theta$ の範囲が $\pi < \theta < 2\pi$ であることから、$\theta$ は第3象限または第4象限の角であることがわかります。

$\cos \theta = -\frac{3}{5} < 0$ であることから、$\theta$ は第3象限の角であることがわかります。

第3象限では、$\sin \theta < 0$ かつ $\tan \theta > 0$ となります。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{16}{25}$

$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}$

$\theta$ が第3象限の角であるため、$\sin \theta < 0$ より、$\sin \theta = -\frac{4}{5}$ となります。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$

$\tan \theta = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{4}{3}$