$\theta = \frac{19}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta = \frac{19}{4}\pi$ のとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\theta = \frac{19}{4}\pi$ を、三角関数の周期性を用いて、より扱いやすい角度に変換します。

$2\pi$ は三角関数の周期なので、$2\pi$ の整数倍を $\theta$ から引いても三角関数の値は変わりません。

$\frac{19}{4}\pi = \frac{16}{4}\pi + \frac{3}{4}\pi = 4\pi + \frac{3}{4}\pi = 2(2\pi) + \frac{3}{4}\pi$ なので、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ と考えます。

次に、$\sin\frac{3}{4}\pi$, $\cos\frac{3}{4}\pi$, $\tan\frac{3}{4}\pi$ を計算します。

$\frac{3}{4}\pi$ は第2象限の角であり、基準となる角は$\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4}$ です。

$\sin\theta$ は第2象限で正なので、$\sin\frac{3}{4}\pi = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\cos\theta$ は第2象限で負なので、$\cos\frac{3}{4}\pi = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\tan\theta$ は第2象限で負なので、$\tan\frac{3}{4}\pi = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$ です。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて計算すると、

$\tan\frac{3}{4}\pi = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\theta = -1$