問題は全部で10個あります。ここでは、問題1, 2, 3, 4を解きます。 1. 正六角形におけるベクトル表現

1. 問題の内容

問題は全部で10個あります。ここでは、問題1, 2, 3, 4を解きます。

1. 正六角形におけるベクトル表現

2. ベクトルの成分表示と大きさの計算

3. ベクトルの線形結合

4. ベクトルの内積と直交条件

2. 解き方の手順

問題1：正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{q}$のとき、次のベクトルを$\vec{p}, \vec{q}$を用いて表す。

(1) $\overrightarrow{EC}$

(2) $\overrightarrow{AE}$

(1) $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC}$.

$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{BA} = -\vec{p}$.

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{p}$.

よって、$\overrightarrow{EC} = \vec{q} - \vec{p}$.

(2) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \vec{p} + \vec{q} + (-\vec{p}) + (-\vec{q} - \vec{p}) = -\vec{p} - \vec{q}$.

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DE} = 2\vec{q} + (-\vec{q} - \vec{p}) = \vec{q} - \vec{p}$.

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AF} - \vec{p}$.

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{q} + (-\vec{p}) = \vec{q} - \vec{p}$.

よって、$\overrightarrow{AE} = \vec{q} - \vec{p} - \vec{p} = \vec{q} - 2\vec{p}$.

問題2：$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$とするとき、$3\vec{a} - 2\vec{b}$を成分表示し、さらに長さ（大きさ）を求める。

$3\vec{a} - 2\vec{b} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 10 \end{pmatrix}$.

$|3\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109}$.

問題3：$\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$とするとき、ベクトル$\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$を$x\vec{a} + y\vec{b}$の形で表す。

$\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x + 2y \\ x + y \end{pmatrix}$.

$-x + 2y = 4$

$x + y = 5$.

辺々足すと、$3y = 9$.

$y = 3$.

$x = 5 - y = 5 - 3 = 2$.

したがって、$\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$.

問題4：

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$とするとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (5)(1) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$.

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ x \end{pmatrix}$のなす角が90°のとき、$x$の値を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$となるので、$(\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (5)(x) = 0$.

$6 + 5x = 0$.

$5x = -6$.

$x = -\frac{6}{5}$.

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\overrightarrow{EC} = \vec{q}-\vec{p}$

(2) $\overrightarrow{AE} = \vec{q} - 2\vec{p}$

問題2：

$3\vec{a} - 2\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 10 \end{pmatrix}$

$|3\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{109}$

問題3：

$\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$

問題4：

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 11$

(2) $x = -\frac{6}{5}$