与えられた不等式 $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2^{2x+1}$ を変形します。

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

したがって、不等式は

$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$

となります。

次に、$2^x = t$ と置換します。すると、不等式は

$2t^2 - 9t + 4 \leq 0$

となります。

この二次不等式を解くために、まず二次方程式 $2t^2 - 9t + 4 = 0$ を解きます。

因数分解すると $(2t - 1)(t - 4) = 0$ となり、$t = \frac{1}{2}, 4$ を得ます。

したがって、二次不等式 $2t^2 - 9t + 4 \leq 0$ の解は

$\frac{1}{2} \leq t \leq 4$

となります。

$t = 2^x$ なので、

$\frac{1}{2} \leq 2^x \leq 4$

となります。

これを解くために、それぞれの不等式を解きます。

$\frac{1}{2} \leq 2^x$ は $2^{-1} \leq 2^x$ と書けるので、 $-1 \leq x$ となります。

$2^x \leq 4$ は $2^x \leq 2^2$ と書けるので、$x \leq 2$ となります。

したがって、$-1 \leq x \leq 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-1 \leq x \leq 2$