問題1は、与えられた対数の組の大小を比較する問題です。 (1) $\log_3 2$, $\log_3 \frac{5}{2}$, $\log_3 \sqrt{5}$ (2) $\log_{0.4} \frac{3}{2}$, $\log_{0.4} \frac{7}{5}$, $\log_{0.4} \sqrt{2}$ 問題2は、与えられた数の大小を比較する問題です。 (1) $\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$, $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[9]{16}$, $\sqrt[4]{32}$ (2) $(\frac{1}{3})^{-1}$, $1$, $\frac{1}{32}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[5]{81}$

代数学対数大小比較指数
2025/8/2

1. 問題の内容

問題1は、与えられた対数の組の大小を比較する問題です。
(1) log32\log_3 2, log352\log_3 \frac{5}{2}, log35\log_3 \sqrt{5}
(2) log0.432\log_{0.4} \frac{3}{2}, log0.475\log_{0.4} \frac{7}{5}, log0.42\log_{0.4} \sqrt{2}
問題2は、与えられた数の大小を比較する問題です。
(1) 2\sqrt{2}, 222\sqrt{2}, 45\sqrt[5]{4}, 169\sqrt[9]{16}, 324\sqrt[4]{32}
(2) (13)1(\frac{1}{3})^{-1}, 11, 132\frac{1}{32}, 33\sqrt[3]{3}, 815\sqrt[5]{81}

2. 解き方の手順

問題1:
(1) 底が3で1より大きいので、真数の大小関係がそのまま対数の大小関係になります。
22, 52=2.5\frac{5}{2} = 2.5, 52.236\sqrt{5} \approx 2.236 なので、
2<5<522 < \sqrt{5} < \frac{5}{2}
したがって、
log32<log35<log352\log_3 2 < \log_3 \sqrt{5} < \log_3 \frac{5}{2}
(2) 底が0.4で1より小さいので、真数の大小関係と対数の大小関係が逆転します。
32=1.5\frac{3}{2} = 1.5, 75=1.4\frac{7}{5} = 1.4, 21.414\sqrt{2} \approx 1.414
75<2<32\frac{7}{5} < \sqrt{2} < \frac{3}{2}
したがって、
log0.432<log0.42<log0.475\log_{0.4} \frac{3}{2} < \log_{0.4} \sqrt{2} < \log_{0.4} \frac{7}{5}
問題2:
(1) 全て2の累乗の形で表して、指数を比較します。
2=212\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}
22=21212=2322\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}
45=225=225\sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{2^2} = 2^{\frac{2}{5}}
169=249=249\sqrt[9]{16} = \sqrt[9]{2^4} = 2^{\frac{4}{9}}
324=254=254\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^5} = 2^{\frac{5}{4}}
指数部分を比較します。
12=0.5\frac{1}{2} = 0.5, 32=1.5\frac{3}{2} = 1.5, 25=0.4\frac{2}{5} = 0.4, 490.444\frac{4}{9} \approx 0.444, 54=1.25\frac{5}{4} = 1.25
したがって、
25<49<12<54<32\frac{2}{5} < \frac{4}{9} < \frac{1}{2} < \frac{5}{4} < \frac{3}{2}
225<249<212<254<2322^{\frac{2}{5}} < 2^{\frac{4}{9}} < 2^{\frac{1}{2}} < 2^{\frac{5}{4}} < 2^{\frac{3}{2}}
45<169<2<324<22\sqrt[5]{4} < \sqrt[9]{16} < \sqrt{2} < \sqrt[4]{32} < 2\sqrt{2}
(2)
(13)1=3(\frac{1}{3})^{-1} = 3
11
132=25\frac{1}{32} = 2^{-5}
33=313\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}
815=345=345\sqrt[5]{81} = \sqrt[5]{3^4} = 3^{\frac{4}{5}}
比較しやすいように1も3の累乗で表すと、1=301=3^0
132\frac{1}{32}は他の数と比べて非常に小さいので、最初に確定できます。
0<13<45<10 < \frac{1}{3} < \frac{4}{5} < 1 なので、
132<1<33<815<(13)1\frac{1}{32} < 1 < \sqrt[3]{3} < \sqrt[5]{81} < (\frac{1}{3})^{-1}

3. 最終的な答え

問題1:
(1) log32<log35<log352\log_3 2 < \log_3 \sqrt{5} < \log_3 \frac{5}{2}
(2) log0.432<log0.42<log0.475\log_{0.4} \frac{3}{2} < \log_{0.4} \sqrt{2} < \log_{0.4} \frac{7}{5}
問題2:
(1) 45<169<2<324<22\sqrt[5]{4} < \sqrt[9]{16} < \sqrt{2} < \sqrt[4]{32} < 2\sqrt{2}
(2) 132<1<33<815<(13)1\frac{1}{32} < 1 < \sqrt[3]{3} < \sqrt[5]{81} < (\frac{1}{3})^{-1}

「代数学」の関連問題

画像に写っている2次方程式の問題を解きます。 問題は大きく分けて2つのパートがあり、一つは与えられた2次方程式を解く問題、もう一つは与えられた解を持つ2次方程式の係数を求める問題です。

二次方程式解の公式因数分解解と係数の関係
2025/8/2

与えられた6つの二次関数について、頂点の座標を求める問題です。

二次関数平方完成頂点
2025/8/2

与えられた8つの二次関数について、問題を解くように指示されていますが、具体的に何をすれば良いかは示されていません。ここでは、各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めることにします。

二次関数平方完成頂点
2025/8/2

与えられた2次関数の軸と頂点を求める問題です。

二次関数平方完成頂点
2025/8/2

問題21の(1)について、2次関数 $y = x^2 - 4x + 4$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。

二次関数グラフ頂点平方完成
2025/8/2

次の2次関数のグラフの軸と頂点を求める問題です。具体的には、以下の関数の軸と頂点を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 4$

二次関数平方完成頂点
2025/8/2

与えられた2次関数を平方完成し、グラフの軸と頂点を求める。 2次関数は以下の8つです。 (1) $y = x^2 - 4x + 4$ (2) $y = x^2 + 2x + 5$ (3) $y = -...

二次関数平方完成グラフ頂点
2025/8/2

$x = 11$、 $y = 13$ のとき、式 $4x(x+y)-(x+y)^2$ の値を求めます。

式の計算代入展開計算
2025/8/2

与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x+5)a + (x+5)$ (2) $(x+y)^2 + (x+y) - 2$ (3) $2(a-1)^2 - 12(a-1) - 54$ (...

因数分解多項式二次式
2025/8/2

$(x-2y-5)^2$ を展開しなさい。

展開多項式二乗の公式
2025/8/2