与えられた2次関数の軸と頂点を求める問題です。

はい、承知しました。問題文に示された2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題ですね。ただし、グラフを描くことはここでは難しいので、軸と頂点を求めることに注力します。いくつか例を挙げて、手順を示します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の一般式は $y = ax^2 + bx + c$ で表されます。この式を平方完成することで、頂点の座標を求めることができます。平方完成した式は $y = a(x-p)^2 + q$ となり、頂点の座標は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

平方完成の手順は以下の通りです。

1. $x^2$ の係数 $a$ で $x$ の項までをくくります。

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

2. 括弧の中を平方完成します。括弧の中の $x$ の係数の半分 $(\frac{b}{2a})$ を2乗した $(\frac{b}{2a})^2$ を足して引きます。

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

3. 括弧の中を $(x + \frac{b}{2a})^2$ の形に変形します。

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c$

4. 整理します。

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c)$、軸は $x = -\frac{b}{2a}$ となります。

以下に例として、(1)と(2)の問題を解いてみます。

(1) $y = x^2 - 4x + 4$

$a = 1$, $b = -4$, $c = 4$ なので、軸は $x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$ となります。

頂点の $x$ 座標は2なので、$y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$ となり、頂点の座標は $(2, 0)$ です。

(2) $y = x^2 + 2x + 5$

$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ なので、軸は $x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$ となります。

頂点の $x$ 座標は-1なので、$y = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ となり、頂点の座標は $(-1, 4)$ です。

他の問題も同様に解くことができます。

3. 最終的な答え

上記の手順に従って、各問題の軸と頂点を求められます。

例えば、(1) の答えは、軸: $x=2$, 頂点: $(2, 0)$ です。

(2) の答えは、軸: $x=-1$, 頂点: $(-1, 4)$ です。

(3) y=-x²+6x-10

a=-1, b=6, c=-10なので、軸はx = -6/(2*-1) = 3となります。

頂点のx座標は3なので、y = -(3)² + 6*3 - 10 = -9 + 18 - 10 = -1となり、頂点の座標は(3,-1)です。

(4) y=3x²+12x+15

a=3, b=12, c=15なので、軸はx = -12/(2*3) = -2となります。

頂点のx座標は-2なので、y = 3*(-2)² + 12*(-2) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3となり、頂点の座標は(-2,3)です。

(5) y=1/2x²-4x+6

a=1/2, b=-4, c=6なので、軸はx = -(-4)/(2*(1/2)) = 4となります。

頂点のx座標は4なので、y = 1/2*(4)² - 4*4 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2となり、頂点の座標は(4,-2)です。

(6) y=-2x²-3x-1

a=-2, b=-3, c=-1なので、軸はx = -(-3)/(2*(-2)) = -3/4となります。

頂点のx座標は-3/4なので、y = -2*(-3/4)² - 3*(-3/4) - 1 = -2*(9/16) + 9/4 - 1 = -9/8 + 18/8 - 8/8 = 1/8となり、頂点の座標は(-3/4,1/8)です。

(7) y=-3/2x²+x+1

a=-3/2, b=1, c=1なので、軸はx = -1/(2*(-3/2)) = 1/3となります。

頂点のx座標は1/3なので、y = -3/2*(1/3)² + 1/3 + 1 = -3/2*(1/9) + 1/3 + 1 = -1/6 + 2/6 + 6/6 = 7/6となり、頂点の座標は(1/3,7/6)です。

(8) y=1/3x²+2x+3

a=1/3, b=2, c=3なので、軸はx = -2/(2*(1/3)) = -3となります。

頂点のx座標は-3なので、y = 1/3*(-3)² + 2*(-3) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0となり、頂点の座標は(-3,0)です。