与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x+5)a + (x+5)$ (2) $(x+y)^2 + (x+y) - 2$ (3) $2(a-1)^2 - 12(a-1) - 54$ (4) $(2a+b)^2 - 36b^2$

代数学因数分解多項式二次式
2025/8/2

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。
(1) (x+5)a+(x+5)(x+5)a + (x+5)
(2) (x+y)2+(x+y)2(x+y)^2 + (x+y) - 2
(3) 2(a1)212(a1)542(a-1)^2 - 12(a-1) - 54
(4) (2a+b)236b2(2a+b)^2 - 36b^2

2. 解き方の手順

(1) (x+5)a+(x+5)(x+5)a + (x+5)
共通因数(x+5)(x+5)でくくります。
(x+5)(a+1)(x+5)(a+1)
(2) (x+y)2+(x+y)2(x+y)^2 + (x+y) - 2
x+y=Ax+y = Aとおくと、
A2+A2=(A+2)(A1)A^2 + A - 2 = (A+2)(A-1)
AAx+yx+yに戻すと、
(x+y+2)(x+y1)(x+y+2)(x+y-1)
(3) 2(a1)212(a1)542(a-1)^2 - 12(a-1) - 54
まず、全体を2でくくります。
2[(a1)26(a1)27]2[(a-1)^2 - 6(a-1) - 27]
a1=Ba-1 = Bとおくと、
2[B26B27]=2(B9)(B+3)2[B^2 - 6B - 27] = 2(B-9)(B+3)
BBa1a-1に戻すと、
2(a19)(a1+3)=2(a10)(a+2)2(a-1-9)(a-1+3) = 2(a-10)(a+2)
(4) (2a+b)236b2(2a+b)^2 - 36b^2
(2a+b)2(6b)2(2a+b)^2 - (6b)^2
これは、和と差の積の形です。
(2a+b+6b)(2a+b6b)(2a+b+6b)(2a+b-6b)
(2a+7b)(2a5b)(2a+7b)(2a-5b)

3. 最終的な答え

(1) (x+5)(a+1)(x+5)(a+1)
(2) (x+y+2)(x+y1)(x+y+2)(x+y-1)
(3) 2(a10)(a+2)2(a-10)(a+2)
(4) (2a+7b)(2a5b)(2a+7b)(2a-5b)

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