与えられた2次関数を平方完成し、グラフの軸と頂点を求める。 2次関数は以下の8つです。 (1) $y = x^2 - 4x + 4$ (2) $y = x^2 + 2x + 5$ (3) $y = -x^2 + 6x - 10$ (4) $y = 3x^2 + 12x + 15$ (5) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 6$ (6) $y = -2x^2 - 3x - 1$ (7) $y = -\frac{3}{2}x^2 + x + 1$ (8) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3$

はい、承知しました。与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成し、グラフの軸と頂点を求める。

2次関数は以下の8つです。

(1) $y = x^2 - 4x + 4$

(2) $y = x^2 + 2x + 5$

(3) $y = -x^2 + 6x - 10$

(4) $y = 3x^2 + 12x + 15$

(5) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 6$

(6) $y = -2x^2 - 3x - 1$

(7) $y = -\frac{3}{2}x^2 + x + 1$

(8) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

このとき、軸は $x = p$、頂点は $(p, q)$ となる。

(1) $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 0)$

(2) $y = x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 - 1 + 5 = (x + 1)^2 + 4$

軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 4)$

(3) $y = -x^2 + 6x - 10 = -(x^2 - 6x) - 10 = -(x - 3)^2 + 9 - 10 = -(x - 3)^2 - 1$

軸: $x = 3$, 頂点: $(3, -1)$

(4) $y = 3x^2 + 12x + 15 = 3(x^2 + 4x) + 15 = 3(x + 2)^2 - 12 + 15 = 3(x + 2)^2 + 3$

軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 3)$

(5) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 6 = \frac{1}{2}(x^2 - 8x) + 6 = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 8 + 6 = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 2$

軸: $x = 4$, 頂点: $(4, -2)$

(6) $y = -2x^2 - 3x - 1 = -2(x^2 + \frac{3}{2}x) - 1 = -2(x + \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) - 1 = -2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = -2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

軸: $x = -\frac{3}{4}$, 頂点: $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$

(7) $y = -\frac{3}{2}x^2 + x + 1 = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1 = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2}(\frac{1}{9}) + 1 = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{6} + \frac{6}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{7}{6}$

軸: $x = \frac{1}{3}$, 頂点: $(\frac{1}{3}, \frac{7}{6})$

(8) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3 = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) + 3 = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 3 + 3 = \frac{1}{3}(x + 3)^2$

軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, 0)$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 0)$

(2) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 4)$

(3) 軸: $x = 3$, 頂点: $(3, -1)$

(4) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 3)$

(5) 軸: $x = 4$, 頂点: $(4, -2)$

(6) 軸: $x = -\frac{3}{4}$, 頂点: $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$

(7) 軸: $x = \frac{1}{3}$, 頂点: $(\frac{1}{3}, \frac{7}{6})$

(8) 軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, 0)$