与えられた4x4行列 $A$ の行列式を求めます。 $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 $A$ の行列式を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を用います。3行目に0が3つあるため、3行目に関して余因子展開を行うのが簡単です。

$\det(A) = 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 0 \cdot C_{34} = 4 \cdot C_{32}$

ここで、$C_{32}$は(3,2)成分の余因子です。余因子は $(-1)^{i+j}M_{ij}$ で与えられます。$M_{ij}$ は小行列式で、元の行列からi行とj列を取り除いた行列の行列式です。

したがって、$C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = (-1)^5 M_{32} = -M_{32}$ となります。

$M_{32}$ は、行列 $A$ から3行目と2列目を取り除いた行列の行列式です。

$M_{32} = \det \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。1行目について余因子展開を行います。

$M_{32} = 0 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} = 3 \cdot C_{12}$

ここで、$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)^3 (2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = -2$

したがって、$M_{32} = 3 \cdot (-2) = -6$

$C_{32} = -M_{32} = -(-6) = 6$

$\det(A) = 4 \cdot C_{32} = 4 \cdot 6 = 24$

3. 最終的な答え

24