(1) 一次関数 $y=2x+3$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ であるときの $y$ の変域を求めます。 (2) 一次関数 $y=-\frac{2}{3}x+6$ で、$y$ の変域が $-2 \le y \le 10$ となるような $x$ の変域を求めます。

1. 問題の内容

(1) 一次関数 $y=2x+3$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ であるときの $y$ の変域を求めます。

(2) 一次関数 $y=-\frac{2}{3}x+6$ で、$y$ の変域が $-2 \le y \le 10$ となるような $x$ の変域を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一次関数 $y=2x+3$ は、$x$ が増加すると $y$ も増加する関数（増加関数）です。したがって、$x$ の最小値に対応する $y$ の値が $y$ の最小値となり、$x$ の最大値に対応する $y$ の値が $y$ の最大値となります。

- $x = -1$ のとき、$y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

- $x = 2$ のとき、$y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$

よって、$y$ の変域は $1 \le y \le 7$ です。

(2) 一次関数 $y=-\frac{2}{3}x+6$ は、$x$ が増加すると $y$ は減少する関数（減少関数）です。したがって、$y$ の最小値に対応する $x$ の値が $x$ の最大値となり、$y$ の最大値に対応する $x$ の値が $x$ の最小値となります。

- $y = -2$ のとき、$-2 = -\frac{2}{3}x+6$ を解きます。

$-\frac{2}{3}x = -2 - 6$

$-\frac{2}{3}x = -8$

$x = -8 \times (-\frac{3}{2}) = 12$

- $y = 10$ のとき、$10 = -\frac{2}{3}x+6$ を解きます。

$-\frac{2}{3}x = 10 - 6$

$-\frac{2}{3}x = 4$

$x = 4 \times (-\frac{3}{2}) = -6$

よって、$x$ の変域は $-6 \le x \le 12$ です。

3. 最終的な答え

(1) $1 \le y \le 7$

(2) $-6 \le x \le 12$