$\sqrt{18 - 5\sqrt{2}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{18 - 5\sqrt{2}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a - \sqrt{b}}$ の形をしているので、二重根号を外すことを考えます。

二重根号を外す公式は、

$$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$$

です。

今回は $A = 18$, $B = 50$ なので、

$A^2 - B = 18^2 - 50 = 324 - 50 = 274$ となります。$\sqrt{274}$ は整数にならないので、このままでは二重根号を外すことができません。

$18 - 5\sqrt{2}$ を $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ の形にすることを考えます。

ここで、$18 = a^2 + b^2$, $5\sqrt{2} = 2ab$とします。$ab = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ なので、$a^2b^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{25}{2}$となります。

$a^2 + b^2 = 18$と$a^2b^2 = \frac{25}{2}$を満たす$a^2, b^2$を求めます。

$a^2, b^2$は、$t^2 - 18t + \frac{25}{2} = 0$の解です。

これを解くと

$2t^2 - 36t + 25 = 0$

$t = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{4} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 200}}{4} = \frac{36 \pm \sqrt{1096}}{4} = \frac{36 \pm 2\sqrt{274}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{274}}{2}$

となり、うまくいきません。

$18 - 5\sqrt{2}$ を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$の形に変形することを考えます。

$a+b=18$，$2\sqrt{ab} = 5\sqrt{2}$より$4ab=50$なので、$ab = \frac{25}{2}$。

$t^2 - 18t + \frac{25}{2} = 0$を満たす$a,b$を求めることになりますが、同様にうまくいきません。

別の方法を試みます。

$18-5\sqrt{2} = 18 - \sqrt{50}$と見て、二重根号を外せるか考えます。

$\sqrt{18 - \sqrt{50}}$に対して、$A = 18$, $B = 50$ なので、$A^2 - B = 18^2 - 50 = 324-50 = 274$。このままでは二重根号は外れません。

もう一度、$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = 18-5\sqrt{2}$となる$a,b$を探します。

$a+b=18$，$2\sqrt{ab} = 5\sqrt{2}$より$ab=\frac{25}{2}$

$t^2 - 18t + \frac{25}{2} = 0$となる$t$は$a,b$。

$2t^2-36t+25=0$

$t = \frac{36 \pm \sqrt{36^2-4\cdot 2 \cdot 25}}{4} = \frac{36 \pm \sqrt{1296-200}}{4} = \frac{36 \pm \sqrt{1096}}{4} = \frac{36 \pm 2\sqrt{274}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{274}}{2}$

これではうまくいきません。

$18-5\sqrt{2} = 18-\sqrt{50} = 18 - \sqrt{25 \times 2}$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 18 - 5 \sqrt{2}$

$18 = a + b$

$5 \sqrt{2} = 2 \sqrt{ab}$

$25 \cdot 2 = 4 ab$

$ab = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

$a = \frac{25}{2b}$

$\frac{25}{2b} + b = 18$

$25 + 2b^2 = 36b$

$2b^2 - 36b + 25 = 0$

$(5 - \sqrt{2})^2 = 25 - 10 \sqrt{2} + 2 = 27 - 10 \sqrt{2}$

$(\frac{5}{\sqrt{2}} - \sqrt{2})^2 = \frac{25}{2} - 10 + 2 = \frac{29}{2}$

$\sqrt{18 - 5 \sqrt{2}} = \sqrt{ \frac{ (6- \sqrt{2})^2}{2}}$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 18 - 5 \sqrt{2}$

$18 - 5 \sqrt{2} = \frac{1}{2} (36-10 \sqrt{2} )= \frac{1}{2} (25 - 10 \sqrt{2} + 11)$

$18 - 5\sqrt{2}$を$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$の形にする。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = a + b - \sqrt{4ab}$

$a+b = 18$

$4ab = 50$

$ab = \frac{25}{2}$

$t^2 - 18t + \frac{25}{2} = 0$

解の公式で

$t = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot \frac{25}{2} }}{2}$

$t = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 50}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{274}}{2}$

$18-5\sqrt{2} = \frac{1}{2} (36 - 10\sqrt{2})$

$36-10\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-1)^2$

$\sqrt{18-5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (5-\sqrt{2} )$.

$\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}-2}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} - 1$

または $\frac{5 \sqrt{2} - 2}{2}$