2次方程式 $2x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (4) $(\alpha - \beta)^2$ (5) $|\alpha - \beta|$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(4) $(\alpha - \beta)^2$

(5) $|\alpha - \beta|$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{1}{2}$

$\alpha \beta = -\frac{5}{2}$

が成り立つ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$= (\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})$

$= \frac{1}{4} + 5 = \frac{21}{4}$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$= (\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{5}{2})(\frac{1}{2})$

$= \frac{1}{8} + \frac{15}{4} = \frac{1}{8} + \frac{30}{8} = \frac{31}{8}$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求める。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$= \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{2} \times (-\frac{2}{5}) = -\frac{1}{5}$

(4) $(\alpha - \beta)^2$ を求める。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

$= (\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{5}{2})$

$= \frac{1}{4} + 10 = \frac{41}{4}$

(5) $|\alpha - \beta|$ を求める。

$|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha - \beta)^2}$

$= \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{21}{4}$

(2) $\frac{31}{8}$

(3) $-\frac{1}{5}$

(4) $\frac{41}{4}$

(5) $\frac{\sqrt{41}}{2}$