与えられた2次方程式が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。問題は2つあります。 (1) $x^2 - 2mx - m + 2 = 0$ (2) $mx^2 + 3mx + 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。問題は2つあります。

(1) $x^2 - 2mx - m + 2 = 0$

(2) $mx^2 + 3mx + 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2mx - m + 2 = 0$

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

この方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m + 2) = 4m^2 + 4m - 8$

$D = 0$ となる $m$ を求めます。

$4m^2 + 4m - 8 = 0$

$m^2 + m - 2 = 0$

$(m + 2)(m - 1) = 0$

$m = -2, 1$

$m = -2$ のとき、方程式は $x^2 + 4x + 4 = 0$ となり、$(x + 2)^2 = 0$ より、重解は $x = -2$ です。

$m = 1$ のとき、方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x - 1)^2 = 0$ より、重解は $x = 1$ です。

(2) $mx^2 + 3mx + 1 = 0$

まず、$m = 0$ のとき、方程式は $1 = 0$ となり、解を持ちません。したがって、$m \neq 0$ です。

判別式 $D$ は、

$D = (3m)^2 - 4(m)(1) = 9m^2 - 4m$

$D = 0$ となる $m$ を求めます。

$9m^2 - 4m = 0$

$m(9m - 4) = 0$

$m = 0, \frac{4}{9}$

$m \neq 0$ より、$m = \frac{4}{9}$ です。

$m = \frac{4}{9}$ のとき、方程式は $\frac{4}{9}x^2 + \frac{4}{3}x + 1 = 0$ となります。

$4x^2 + 12x + 9 = 0$

$(2x + 3)^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$m = -2$ のとき、重解は $x = -2$

$m = 1$ のとき、重解は $x = 1$

(2)

$m = \frac{4}{9}$ のとき、重解は $x = -\frac{3}{2}$